§ 27. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся; записывают a ∥ b. Если прямые пересекаются, они уже не параллельны, даже если на коротком рисунке между ними виден промежуток. Понятие параллельности позволяет описывать расположение прямых и применять свойства углов.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в двух различных точках. Она связывает углы, образованные у разных точек пересечения, и помогает сравнивать эти углы. Обычно секущую рассматривают вместе с двумя прямыми, положение которых нужно выяснить.

Соответствующие углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут находиться выше своих прямых и справа от секущей. Такое сравнение удобно для проверки параллельности: равенство соответствующих углов служит её признаком.

Накрест лежащие углы располагаются между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Односторонние внутренние углы тоже лежат между прямыми, однако находятся по одну сторону от секущей. Эти названия помогают понять, какое правило использовать: равенство углов или их сумму.

Как это устроено

Секущая пересекает каждую из двух прямых в своей точке, а в каждой точке пересечения возникают четыре угла. Всего получается восемь углов, и сравнивать их по одному неудобно. Поэтому их объединяют в пары по расположению относительно прямых и секущей: так сразу видно, какие углы можно связать общим свойством.

Если две прямые параллельны, соответствующие углы равны: секущая пересекает параллельные прямые под одинаковым углом. Накрест лежащие углы тоже равны, потому что каждый из них равен соответствующему углу при другом пересечении. Односторонние внутренние углы складываются в 180°: один из них равен углу, который образует со вторым смежную пару, а смежные углы в сумме дают 180°.

Эти соотношения можно использовать и в обратную сторону. Если соответствующие углы равны, то при наложении одной прямой на другую секущая образует одинаковые углы, значит, прямые не сходятся и не пересекаются. Тот же вывод получают, если равны накрест лежащие углы: один из них можно сравнить с соответствующим углом, а затем применить признак для соответствующих углов.

Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, прямые также параллельны. Чтобы увидеть причину, можно заменить один из этих углов равным ему вертикальным углом. Получится пара смежных углов, а значит, соответствующие углы окажутся равны; по этому признаку прямые параллельны.

Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, то есть образуют углы по 90°. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то при пересечении этой прямой они образуют одинаковые углы. Следовательно, они не пересекутся друг с другом и будут параллельны.

Свойства и признаки параллельных прямых

Сначала определите, какие именно углы отмечены: соответствующие, накрест лежащие или односторонние внутренние. Затем сравните их с условием в таблице и выберите нужный вывод. Для доказательства параллельности используйте признаки, а для нахождения углов — свойства параллельных прямых.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересечены секущей. Один из соответствующих углов равен 68°. Найдите второй соответствующий угол и определите, могут ли прямые быть параллельными.

1. Соответствующие углы при параллельных прямых должны быть равны.
2. Второй угол соответствует углу 68°, поэтому его величина тоже равна 68°.
3. Получилось равенство соответствующих углов. По признаку параллельности заключаем, что прямые параллельны.

Ответ: второй угол равен 68°; прямые параллельны.

Задача 2. Односторонние внутренние углы равны 112° и 68°. Докажите, что прямые параллельны.

1. Для признака параллельности проверяем сумму односторонних внутренних углов.
2. Складываем их величины: 112° + 68° = 180°.
3. Сумма равна 180°, значит, по признаку односторонних внутренних углов прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны, так как сумма односторонних внутренних углов равна 180°.

Задача 3. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b. Один из образовавшихся углов равен 47°. Найдите все остальные углы.

1. Вертикальный данному углу равен ему, поэтому ещё один угол равен 47°.
2. Каждый смежный с углом 47° дополняет его до 180°: 180° − 47° = 133°. Таких углов у этого пересечения два.
3. У второго пересечения соответствующие углы равны углам первого пересечения, поскольку a ∥ b. Поэтому там также два угла по 47° и два по 133°.
4. Из восьми углов один уже дан. Среди остальных семь: три равны 47°, четыре равны 133°.

Ответ: остальные углы — три угла по 47° и четыре угла по 133°.

Типичные ошибки

Путают соответствующие и накрест лежащие углы, потому что смотрят только на величину углов, а не на их расположение. Чтобы проверить себя, сначала найдите секущую и отметьте, лежат ли углы между прямыми. У соответствующих углов положение одинаковое, а накрест лежащие находятся внутри и по разные стороны секущей.

Считают, что равенства любых двух углов достаточно для вывода о параллельности. Так происходит, если не уточнить вид пары, хотя равенство, например, вертикальных углов возникает и при пересечении непараллельных прямых. В доказательстве назовите углы и их расположение, а затем примените подходящий признак.

Заменяют условие о сумме односторонних внутренних углов их равенством. У этих углов другое свойство: при параллельных прямых их сумма равна 180°, но сами они могут быть разными. Перед выводом сложите величины и проверьте, получилась ли развернутая величина 180°.

Делают вывод о параллельности только по рисунку. На схеме прямые могут выглядеть параллельными из-за масштаба, хотя это не доказательство. Для проверки укажите известные углы и примените признак параллельности либо докажите, что обе прямые перпендикулярны одной прямой.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными прямыми нужны знания о видах углов, вертикальных и смежных углах, а также о признаках равенства углов. Например, сумму односторонних углов объясняют через свойство смежных углов.

Эта тема помогает доказывать свойства треугольников, изучать многоугольники и решать задачи, в которых требуется найти углы. Она также пригодится при построении параллельных прямых и в координатной геометрии, где сравнивают направления прямых.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются и обозначаются a ∥ b.
• Секущая пересекает две прямые в двух точках.
• При параллельных прямых соответствующие углы равны.
• При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
• Сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых равна 180°.
• Равенство соответствующих или накрест лежащих углов является признаком параллельности.
• Если две прямые перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.