§11. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — две прямые одной плоскости, которые не пересекаются; их обозначают a ∥ b. Иными словами, сколько бы далеко ни продолжали такие прямые, общей точки у них не появится. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное расположение прямых и применять правила для углов, которые они образуют.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках и образующая с ними пары углов. Она помогает сравнить расположение прямых через углы, даже если сами прямые на чертеже не соединены. Если секущая пересекает обе прямые, у каждого пересечения образуются четыре угла.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, можно выбрать угол сверху от прямой и справа от секущей в каждом из двух пересечений. Название пары важно: именно для соответствующих углов сформулированы свойства и признаки параллельности.

Накрест лежащие углы — углы, расположенные между двумя прямыми по разные стороны секущей. Поэтому один находится по одну сторону секущей, а второй — по другую. Их положение позволяет проверять параллельность: при параллельных прямых такая пара имеет равные величины.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые в разных точках, при каждом пересечении возникают четыре угла, всего — восемь. Углы различают не только по величине, но и по месту относительно двух прямых и секущей. Соответственные пары находятся в одинаковых положениях у двух пересечений, словно занимают один и тот же «уголок» чертежа. Накрест лежащие углы расположены между прямыми, но по разные стороны секущей, а односторонние внутренние — тоже между прямыми, но по одну сторону секущей.

Если две прямые параллельны, секущая пересекает их под одинаковым направлением, поэтому соответственные углы равны. Равенство накрест лежащих углов следует из этого свойства и равенства вертикальных углов: вертикальные углы образуются напротив друг друга при пересечении прямых и всегда равны. Односторонние внутренние углы в сумме составляют 180°: один из них можно сопоставить со смежным углом при другом пересечении, а смежные углы в сумме дают развёрнутый угол. Так свойства для разных пар связаны между собой.

Обратные утверждения помогают не только находить углы, но и доказывать параллельность. Если соответственные углы равны, то при пересечении двух прямых секущей их взаимное положение такое же, как у параллельных прямых; значит, прямые параллельны. Такой же вывод делают, если равны накрест лежащие углы. В обоих случаях важна именно выбранная пара: равенства произвольных углов недостаточно.

Параллельность можно установить и по односторонним внутренним углам. Если их сумма равна 180°, то один из этих углов равен углу, смежному со вторым, поскольку смежные углы также дают 180°. Получается равенство накрест лежащих или соответственных углов, а оно служит признаком параллельности. Поэтому сумму односторонних внутренних углов используют как самостоятельное условие для доказательства.

На чертеже иногда известна не та пара углов, для которой нужно применить свойство или признак. Тогда переходят от одного угла к другому с помощью вертикальных и смежных углов: вертикальные равны, а сумма смежных равна 180°. Например, из равенства одного угла и вертикального ему сразу получают равенство вертикальных углов при другой точке. Если угол смежный с известным, его величину находят вычитанием из 180°.

Углы при пересечении двух прямых секущей: свойства и признаки параллельности

Сначала определите, где расположены углы: внутри или снаружи прямых и по какую сторону от секущей. Затем выберите строку таблицы и проверьте нужное равенство или сумму. Признак используют, чтобы доказать параллельность, а свойство — чтобы найти углы, когда параллельность уже известна.

Разбор задач

Задача 1

Две прямые пересечены секущей, один из соответственных углов равен 68°. Найдите второй. В условии не сказано прямо, что прямые параллельны, поэтому применить свойство соответствующих углов можно только при наличии такого условия. В этой задаче предполагается, что прямые параллельны.

1. При параллельных прямых соответственные углы равны. Значит, второй угол имеет ту же величину, что и первый.
2. Записываем равенство: второй угол = 68°. Проверка проста: равные соответственные углы согласуются со свойством параллельных прямых.

Ответ: 68°.

Задача 2

Накрест лежащие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Найдите x и определите, параллельны ли прямые. Для вывода о параллельности важно, что речь идёт о накрест лежащих углах при одной секущей. Их равенство будет признаком параллельности.

1. Приравниваем выражения: 3x + 10 = 5x − 30. Переносим слагаемые: 40 = 2x, поэтому x = 20.
2. Подставляем значение: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°. Углы действительно равны, следовательно, по признаку накрест лежащих углов прямые параллельны.

Ответ: x = 20; углы равны 70°, прямые параллельны.

Задача 3

Односторонние внутренние углы выражаются как 2x + 15° и 4x + 9°. Найдите x и величины углов, затем установите, параллельны ли прямые. Используем условие, при котором односторонние внутренние углы вместе образуют 180°. После вычисления нужно проверить обратное утверждение и сделать вывод о прямых.

1. Составляем уравнение: (2x + 15) + (4x + 9) = 180. Получаем 6x + 24 = 180, откуда 6x = 156 и x = 26.
2. Находим углы: 2 · 26 + 15 = 67°, а 4 · 26 + 9 = 113°. Их сумма равна 180°, значит, по признаку односторонних внутренних углов прямые параллельны.

Ответ: x = 26; углы равны 67° и 113°; прямые параллельны.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что равенства любой пары углов достаточно для параллельности. Так думают, потому что на рисунке все углы кажутся связанными, но признак относится только к определённым парам. Проверьте, что углы соответственные или накрест лежащие, либо что односторонние внутренние углы дают в сумме 180°.

• Соответственные углы путают с накрест лежащими, потому что оба вида появляются при одной секущей. Отличайте их по положению: соответственные стоят в одинаковых местах у двух пересечений, а накрест лежащие находятся внутри прямых и по разные стороны секущей. Перед вычислениями отметьте на чертеже сами прямые, секущую и выбранные углы.

• Для односторонних внутренних углов иногда записывают равенство вместо суммы 180°. Ошибка возникает, если правило для накрест лежащих углов переносят на другую пару. Проверьте положение: односторонние углы при параллельных прямых обычно не равны, а дополняют друг друга до 180°.

• Нельзя применять свойство параллельных прямых до того, как их параллельность дана или доказана. Иначе рассуждение становится круговым: параллельность пытаются обосновать правилом, которое уже предполагает её. Сначала найдите условие или докажите подходящий признак, а затем используйте свойства для вычисления углов.

Связь с другими темами

Для работы с углами при секущей нужно знать вертикальные углы и смежные углы, а также помнить, что сумма смежных углов равна 180°. Эти факты помогают переходить от известной величины к нужной паре и объяснять свойства параллельных прямых. Признаки параллельности пригодятся при доказательстве свойств треугольников и четырёхугольников. Свойства углов, в свою очередь, помогают находить неизвестные углы и обосновывать шаги геометрических доказательств.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются и обозначаются a ∥ b.
• Соответственные углы при параллельных прямых равны.
• Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
• Сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых равна 180°.
• Равенство соответственных или накрест лежащих углов — признак параллельности прямых.
• Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, то прямые параллельны.