41. Признаки параллельности двух прямых

Определения и обозначения

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. В каждом месте пересечения появляются четыре угла, поэтому всего можно рассматривать пары углов у двух пересечений. По их расположению и величинам судят о том, параллельны ли прямые.

Накрест лежащие углы — углы, расположенные между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Они находятся у разных точек пересечения и как бы «смотрят» в противоположные стороны от секущей. Такое положение помогает выбрать нужную пару для признака параллельности.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут находиться над своими прямыми и справа от секущей. Сравнивать нужно именно углы в одинаковых местах, а не любые два угла на рисунке.

Односторонние углы — углы, расположенные между двумя прямыми по одну сторону секущей. Их рассматривают парой: один угол образуется у первого пересечения, другой — у второго. Для проверки параллельности важно не их равенство, а сумма, равная 180°.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые, у каждого пересечения возникают четыре угла, и между ними можно выделить пары по расположению. Само наличие таких пар ещё не говорит, что прямые параллельны: углы могут иметь разные величины. Но если пара удовлетворяет определённому соотношению, это становится основанием для вывода. Поэтому в задаче сначала определяют положение углов, а затем проверяют нужное условие.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Почему это работает? Если бы прямые пересекались, вместе с секущей они образовали бы треугольник; один из рассматриваемых углов оказался бы внешним углом этого треугольника. Внешний угол больше внутреннего угла, не смежного с ним, поэтому равенство накрест лежащих углов при пересекающихся прямых невозможно. Значит, прямые не пересекаются и параллельны.

Если равны соответственные углы, прямые тоже параллельны. Через точку пересечения одной прямой с секущей можно провести только одну прямую, параллельную другой данной прямой. При такой параллельной прямой соответственный угол будет равен соответствующему углу у второй прямой. Поэтому равенство в условии показывает, что рассматриваемые прямые совпадают с парой параллельных прямых, а значит, параллельны друг другу.

Если сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны. Предположим обратное: прямые пересекаются, и вместе с частью секущей образуют треугольник. Тогда один из односторонних углов будет внешним углом треугольника, а другой — внутренним углом, не смежным с ним. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, значит, сумма рассматриваемой пары окажется больше 180°, а не равна 180°. Получили противоречие, следовательно, прямые параллельны.

Все три признака дают способ доказать параллельность, если известны величины углов или их можно найти. Для этого не требуется измерять углы на чертеже: достаточно данных задачи и правильного рассуждения. Сначала устанавливают вид пары, затем проверяют равенство или сумму и записывают вывод. Если условие не подходит ни под один признак, только по этой паре параллельность доказать нельзя.

Признаки параллельности двух прямых

Пользуйтесь таблицей после того, как определили, где находятся оба угла относительно прямых и секущей. Затем проверьте условие именно для этого вида пары: равенство или сумму 180°. Если условие выполнено, запишите вывод о параллельности прямых.

Разбор задач

Задача 1. При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 64°. Докажите, что прямые параллельны. Здесь величина 64° не требует вычислений: нужно проверить, какой именно признак подходит к данной паре. Поскольку в условии названы накрест лежащие углы, применяем признак по их равенству.

1. По условию одна пара углов является накрест лежащей.
2. Оба угла равны 64°, значит, они равны друг другу.
3. По признаку равенства накрест лежащих углов прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

Задача 2. Соответственные углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Найдите x и установите, параллельны ли прямые. Сначала используем факт, что соответствующие углы в этой задаче равны, и составим уравнение. После нахождения x проверим, что сами углы имеют допустимую величину, а затем применим признак.

1. Приравняем выражения: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Перенесём слагаемые: 40 = 2x, откуда x = 20.
3. Подставим значение: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°. Углы равны и являются соответственными.
4. По признаку соответственных углов прямые параллельны.

Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Задача 3. Односторонние углы равны 2x + 20° и 4x + 10°. Найдите x и докажите параллельность прямых. Для односторонних углов условием признака служит не равенство, а сумма 180°. Составим уравнение именно по этому условию, а затем проверим найденные величины.

1. Составим уравнение: (2x + 20) + (4x + 10) = 180.
2. Соберём слагаемые: 6x + 30 = 180, поэтому 6x = 150 и x = 25.
3. Найдём углы: 2 · 25 + 20 = 70°, 4 · 25 + 10 = 110°. Их сумма равна 180°.
4. Углы односторонние, поэтому по соответствующему признаку прямые параллельны.

Ответ: x = 25; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Путают накрест лежащие и соответственные углы. Ошибка возникает, если смотреть только на то, что углы находятся у разных пересечений, и не учитывать их положение между прямыми. Проверьте оба признака расположения: находятся ли углы внутри или снаружи и по одну или по разные стороны секущей. Если они занимают одинаковые места у пересечений, это соответственные углы.

Считают, что равенства любой пары углов достаточно. Равные углы могут оказаться вертикальными или смежными, а их равенство само по себе не относится к признакам параллельности. Такую ошибку допускают, запоминая только слово «равны» и забывая про расположение. Перед выводом назовите вид пары и убедитесь, что равенство дано именно для накрест лежащих или соответственных углов.

Для односторонних углов используют равенство вместо суммы 180°. Эти углы не обязаны быть равными, поэтому уравнение между ними не следует из признака. Вероятно, правило перепутали с признаком для накрест лежащих или соответственных углов. Проверьте себя: для односторонних углов сложите значения и сравните результат с 180°.

Путают признак со свойством параллельных прямых. Признак позволяет начать с условия об углах и доказать, что прямые параллельны; свойство применяется в обратной ситуации. Ошибка появляется, когда условие и вывод правила меняют местами. Проверка проста: в начале рассуждения спросите себя, параллельность уже дана или её ещё нужно доказать.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать, какие углы образуются при пересечении прямых секущей, а также свойства смежных и вертикальных углов. Например, эти свойства помогают находить недостающие углы, прежде чем проверять условие признака. Если сразу не видно нужной пары, можно сначала выразить её величину через известные углы.

Признаки применяются в доказательствах, где требуется установить параллельность сторон геометрической фигуры. После такого вывода можно использовать свойства параллельных прямых для дальнейших рассуждений. Так задача часто строится в два этапа: сначала доказывают параллельность по углам, затем используют её следствия.

Что запомнить

• Равенство накрест лежащих углов означает параллельность прямых.
• Равенство соответственных углов означает параллельность прямых.
• Сумма односторонних углов, равная 180°, означает параллельность прямых.
• Перед применением признака нужно правильно определить вид пары углов.
• Признаки применяют, чтобы доказать параллельность прямых.