"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Когда секущая пересекает две прямые, она образует пары углов, по которым можно судить о взаимном расположении этих прямых. Основная теорема связывает параллельность прямых с равенством накрест лежащих углов. Обратные признаки позволяют доказать, что прямые параллельны, если известны угловые соотношения. Эти правила помогают находить углы и обосновывать решения задач без измерений по чертежу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Запись a ∥ b читают «прямая a параллельна прямой b». Это обозначение позволяет коротко указать, какие именно прямые рассматривают, и применить к ним свойства параллельных прямых.
Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Например, если прямая c пересекает прямые a и b, то c является секущей для них. По расположению углов, которые возникают при этих пересечениях, можно выяснить, связаны ли прямые a и b условием параллельности.
Накрест лежащие углы — пары углов, расположенных между двумя прямыми по разные стороны секущей. Они находятся у разных точек пересечения, а не рядом в одной вершине. Эта пара нужна, чтобы сформулировать основную теорему и один из признаков параллельности.
Соответственные углы — пары углов, занимающих одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут находиться выше своей прямой и справа от секущей. Такое совпадение положения помогает быстро находить равные углы и использовать соответствующий признак параллельности.
В каждой точке пересечения секущей с прямой образуются четыре угла, поэтому при двух пересечениях всего получается восемь. Их рассматривают не по одному, а объединяют в пары по положению относительно прямых и секущей. Внутренними называют углы, расположенные в полосе между прямыми; внешние находятся за её пределами. Если мысленно проследить, с какой стороны от секущей и прямых стоят углы, можно выделить накрест лежащие, соответственные и односторонние пары.
Основная теорема утверждает: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Причина связана с тем, что параллельные прямые имеют одно направление, а секущая пересекает их под одинаковым наклоном. Например, если один такой угол равен 57°, второй накрест лежащий угол тоже равен 57°. Теорема позволяет находить неизвестные углы без измерения чертежа.
Из равенства накрест лежащих углов можно получить и другие соотношения. Накрест лежащий угол и соответствующий ему угол равны, потому что они связаны с углами, образующимися при пересечениях, и свойствами вертикальных углов. Односторонние углы при параллельных прямых составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Это не означает, что сами углы равны: один может быть больше другого.
Обратные признаки позволяют сделать вывод о прямых по известным углам. Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны; тот же вывод верен, если равны соответственные углы. Если сумма односторонних углов равна 180°, прямые также параллельны. В каждом случае важно установить именно указанное взаимное положение углов, иначе условие признака не выполнено.
На чертеже сначала найдите две прямые и секущую, а затем отметьте нужные углы: внутренние или внешние, с одной или с разных сторон секущей. Если в условии дана параллельность, используйте прямую теорему, чтобы вычислить угол. Если требуется доказать параллельность, сравните углы или найдите их сумму и примените обратный признак. Подпишите найденное соотношение словами, чтобы было ясно, почему оно подходит.
| Пара углов | Если прямые параллельны | Если соотношение выполнено |
|---|---|---|
| Накрест лежащие | Углы равны | Прямые параллельны |
| Соответственные | Углы равны | Прямые параллельны |
| Односторонние | Сумма углов равна 180° | Прямые параллельны |
В первом столбце таблицы выберите тип пары по её расположению на чертеже, а затем найдите подходящее соотношение. Второй столбец используют, когда параллельность уже известна и нужно вычислить угол. Третий помогает доказать параллельность: проверьте указанное равенство или сумму, а не просто наличие каких-либо равных углов.
Задача 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 57°. Найдите второй. Здесь заранее дана параллельность, поэтому нужно применить основную теорему, а не искать обратный признак. Важно убедиться, что речь идёт именно о накрест лежащем угле.
Ответ: 57°.
Задача 2. При пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны 112°. Докажите, что прямые параллельны. Здесь, в отличие от первой задачи, параллельность ещё не дана: её надо обосновать. Известное равенство относится к соответственным углам, поэтому подходит обратный признак параллельности.
Ответ: прямые параллельны.
Задача 3. Односторонние углы при пересечении двух прямых секущей относятся как 2:7. Определите, параллельны ли прямые, и найдите углы. Само отношение ещё не доказывает параллельность: нужно проверить, дают ли углы 180°. Обозначим общую часть отношения через x, тогда углы равны 2x и 7x.
Ответ: углы 40° и 140°; прямые параллельны.
Ошибка — считать любые равные углы доказательством параллельности. Её допускают, когда замечают на чертеже два одинаковых числа, но не выясняют, как расположены эти углы. Проверьте, что это одна секущая и именно накрест лежащая или соответственная пара; для односторонней пары сравнивают сумму с 180°.
Накрест лежащие углы путают с соответственными, потому что обе пары расположены у разных точек пересечения. Однако накрест лежащие находятся внутри прямых и по разные стороны секущей, а соответственные занимают одинаковое положение. Чтобы не ошибиться, сначала определите внутреннюю область между прямыми, затем проследите сторону секущей или сравните положения углов.
При параллельных прямых односторонние углы не обязательно равны: их сумма, а не величины по отдельности, равна 180°. Путаница возникает из-за того, что для другой пары — накрест лежащей — верно равенство. Сложите односторонние углы и проверьте, получается ли 180°; например, 40° и 140° подходят, а равными они не являются.
Нельзя автоматически обращать теорему: из того, что при параллельных прямых углы равны, само по себе ещё не следует параллельность. Для обратного вывода в условии должна быть подходящая пара углов и выполнено нужное соотношение. Перед заключением назовите признак и проверьте его условие: равенство накрест лежащих, равенство соответственных или сумма односторонних 180°.
Для работы с углами при секущей пригодятся знания о вертикальных и смежных углах. Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°; эти свойства помогают выразить один угол через другой и найти подходящую пару. Теорема и признаки параллельности затем используются при доказательстве свойств треугольников и четырёхугольников, а также в задачах, где на чертеже есть секущая.
Какие углы называют накрест лежащими?
Это углы, расположенные между двумя прямыми и по разные стороны от секущей. Такая пара образована углами при разных точках пересечения.
Как по углам определить, что две прямые параллельны?
Проверьте, как расположена выбранная пара относительно секущей. Если накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны или сумма односторонних углов составляет 180°, прямые параллельны.
Чем соответственные углы отличаются от накрест лежащих?
Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух точек пересечения, например оба находятся сверху от своих прямых и справа от секущей. Накрест лежащие углы находятся между прямыми, но по разные стороны секущей.
Какую сумму имеют односторонние углы при параллельных прямых?
Их сумма равна 180°. Это значит, что односторонние углы являются дополнительными, но не обязательно равными.
Можно ли доказать параллельность, если известна только величина одного угла?
Одной величины обычно недостаточно: нужно знать, с каким именно углом она связана и как расположены оба угла относительно секущей. Но если по величине одного угла и свойствам смежных или вертикальных углов можно установить подходящее равенство либо сумму 180°, тогда применяют признак параллельности.
42. Основная теорема о параллельных прямых
