§13. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это две прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Их обозначают a ∥ b, где a и b — названия прямых. Это понятие помогает описывать расположение прямых и доказывать, что они не встретятся, даже если продолжить их в обе стороны.

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. При таком пересечении образуются углы, которые можно сравнивать и объединять в пары по их расположению. Секущая нужна, чтобы по соотношениям углов определить, параллельны ли пересечённые прямые.

Накрест лежащие углы — внутренние углы, расположенные между двумя прямыми и по разные стороны секущей. На чертеже их удобно искать «крест-накрест»: один угол находится у первого пересечения, другой — у второго, но с противоположной стороны секущей. Такая пара особенно полезна, потому что её равенство позволяет сделать вывод о параллельности прямых.

Односторонние углы — внутренние углы, которые находятся по одну сторону секущей. На чертеже оба угла этой пары лежат между прямыми, а секущая проходит с одной и той же стороны от каждого из них. Их рассматривают вместе, чтобы проверить, равна ли сумма 180° и можно ли заключить, что прямые параллельны.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые, около каждого пересечения возникают четыре угла. Внутренними называют углы, расположенные в промежутке между прямыми; остальные являются внешними. Чтобы узнать тип пары, сначала найди внутренние углы, затем сравни их положение относительно секущей: по разные стороны — накрест лежащие, по одну — односторонние. Соответствующие углы находятся у разных пересечений в одинаковом положении, например оба сверху от своих прямых и справа от секущей.

Признак параллельности по накрест лежащим углам звучит так: если такие углы равны, то прямые параллельны. Причина в том, что при пересечении непараллельных прямых секущей их направления различаются, и равенство этой пары не выполняется. Поэтому найденное равенство показывает, что прямые имеют одинаковое направление и не пересекутся. В доказательстве обязательно укажи, что углы именно накрест лежащие, а не просто равные.

Параллельность можно доказать и двумя другими способами. Если равны соответствующие углы, прямые параллельны: одинаковое положение равных углов означает, что секущая образует с обеими прямыми одинаковые направления. Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, прямые также параллельны. Это условие задаёт такую пару углов, при которой направления прямых совпадают; сумма не обязана делиться поровну между ними.

Когда прямые уже параллельны, действуют обратные свойства: накрест лежащие углы равны, соответствующие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180°. Эти соотношения следуют из того, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а секущая пересекает их одинаковым образом. Поэтому свойства используют, чтобы вычислить неизвестный угол, а признаки — чтобы доказать параллельность.

Выбирай правило по тому, что дано и что требуется получить. Если нужно доказать параллельность, найди на чертеже пару накрест лежащих или соответствующих углов либо односторонние углы и проверь их сумму. Если параллельность уже дана, используй свойство соответствующей пары, чтобы найти угол. Обосновывай каждый переход: назови углы, укажи их положение и только затем запиши равенство или сумму.

Углы при пересечении двух прямых секущей

В среднем столбце записаны свойства: их применяют, когда параллельность уже известна. Последний столбец содержит признаки, позволяющие доказать параллельность по углам. Перед использованием таблицы проверь, что правильно определил положение углов.

Разбор задач

Задача 1

При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 68°. Определите, параллельны ли прямые. Здесь уже дано равенство конкретной пары углов, поэтому нужно проверить, совпадает ли она с условием признака. Если да, можно сразу сделать вывод, не вычисляя другие углы.

1. По условию углы накрест лежащие, то есть внутренние и расположены по разные стороны секущей.
2. Их величины равны: 68° = 68°. По признаку равенства накрест лежащих углов пересечённые прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

Задача 2

Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из односторонних углов равен 124°. Найдите второй. Поскольку параллельность дана, используем свойство односторонних углов: их сумма составляет 180°. Значит, неизвестный угол найдём вычитанием из 180°.

1. Обозначим второй угол буквой x. Запишем соотношение: 124° + x = 180°.
2. Вычтем 124° из обеих частей: x = 180° − 124° = 56°.
3. Проверим: 124° + 56° = 180°, условие свойства выполнено.

Ответ: 56°.

Задача 3

Секущая пересекает прямые a и b. Соответствующие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Найдите x и обоснуйте, параллельны ли прямые. Здесь не сказано, что прямые параллельны, поэтому нельзя сразу ссылаться на свойство соответствующих углов. Вместо этого проверим признак: если соответствующие углы окажутся равны, прямые будут параллельны.

1. Приравняем выражения для соответствующих углов: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Перенесём неизвестные в одну часть, числа — в другую: 40 = 2x, поэтому x = 20.
3. Подставим найденное значение: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°. Соответствующие углы равны, значит, по признаку a ∥ b.

Ответ: x = 20; прямые a и b параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые два равных угла признаком параллельности. Её допускают, когда замечают равные числа, но не проверяют положение углов относительно секущей; например, равными могут быть вертикальные углы при одном пересечении. Сначала определи, образуют ли углы пару накрест лежащих или соответствующих. Если нет, равенство само по себе не доказывает параллельность.

Накрест лежащие и односторонние углы легко перепутать, потому что обе пары состоят из внутренних углов. Отличие определяется стороной секущей: накрест лежащие находятся по разные стороны, односторонние — по одну. Чтобы проверить себя, мысленно проведи секущую и отметь, по какую сторону от неё лежит каждый угол.

Неверно утверждать, что односторонние углы при параллельных прямых равны. У них равна сумма 180°, поэтому один угол может быть больше другого; например, 124° и 56°. Проверяй не только числа, но и нужное соотношение: для этой пары складывают величины, а не приравнивают их.

Ещё одна ошибка — смешивать прямое и обратное утверждения. Из параллельности следует свойство углов, а для доказательства параллельности нужно условие признака; направления рассуждения различаются. Если параллельность дана, используй её, чтобы получить равенство или сумму, а если дано соотношение углов — проверь, подходит ли оно для признака.

Связь с другими темами

Для работы с секущей нужны знания о видах углов, а также о свойствах смежных и вертикальных углов. Смежные углы в сумме дают 180°, а вертикальные углы равны; это помогает находить величины, если нужная пара не указана напрямую. Кроме того, важно уметь решать простые уравнения и находить угол по его сумме с другим углом.

Признаки параллельности помогают обосновывать геометрические утверждения, а не только вычислять углы. Они пригодятся в задачах о треугольниках и многоугольниках, где параллельные стороны образуют с секущими знакомые пары углов. Так знание углов при прямых становится инструментом для решения более сложных задач.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются.
• При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
• При параллельных прямых соответствующие углы равны.
• При параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180°.
• Равенство накрест лежащих углов — признак параллельности прямых.
• Равенство соответствующих углов — признак параллельности прямых.
• Если сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны.