§14. Признаки параллельности двух прямых. Пятый постулат Евклида

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Их обозначают так: a ∥ b, то есть прямая a параллельна прямой b. Такое обозначение сразу сообщает о взаимном положении прямых и позволяет применять специальные свойства и признаки.

Соответственные углы образуются, когда секущая пересекает две прямые, и занимают одинаковое положение около точек пересечения. Например, оба угла могут находиться сверху от прямых и справа от секущей. Их расположение удобно сравнивать, чтобы проверить параллельность прямых.

Накрест лежащие углы — это внутренние углы, расположенные по разные стороны секущей. Односторонние углы — внутренние углы, находящиеся по одну сторону секущей. Эти названия помогают не просто описать чертёж, а выбрать правильное условие для доказательства.

Пятый постулат Евклида утверждает: если сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, две прямые пересекутся со стороны секущей, где расположена эта сумма. Постулат описывает не только факт пересечения, но и его сторону. Он связан с основами геометрии Евклида.

Как это устроено

Проведём две прямые a и b, а третью прямую назовём секущей: она пересекает обе данные прямые. Вокруг каждой точки пересечения получаются четыре угла, всего восемь углов. Соответственные пары находятся в одинаковых местах, накрест лежащие — внутри между прямыми по разные стороны секущей, а односторонние — внутри по одну сторону.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны. Причина в том, что секущая занимает одинаковое положение относительно обеих прямых, поэтому при продолжении прямые не смогут сблизиться и пересечься. Достаточно проверить одну пару соответственных углов.

Равенство внутренних накрест лежащих углов тоже означает параллельность. Такие углы расположены по разные стороны секущей, поэтому равенство показывает одинаковый наклон двух прямых к секущей. Если бы прямые встретились, это равенство нарушилось бы.

Для внутренних односторонних углов используется другое условие: их сумма должна быть равна 180°. В этом случае углы дополняют друг друга до развернутого угла, и прямые имеют одинаковое направление. Поэтому они не пересекаются в данной плоскости.

Пятый постулат рассматривает противоположную ситуацию. Если сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, углы как бы поворачивают прямые навстречу друг другу. Поэтому прямые пересекутся именно с той стороны секущей, где находится эта сумма; если сумма равна 180°, пересечения не будет.

Признаки параллельности двух прямых

Сначала определите по чертежу, к какой паре относятся известные углы. Затем сравните их по нужному правилу: равенство требуется для первых двух пар, а сумма 180° — для третьей. После этого запишите вывод о параллельности прямых.

Разбор задач

Задача 1

При пересечении прямых a и b секущей соответственные углы равны 68°. Требуется доказать, что a ∥ b. Здесь уже назван вид пары, поэтому остаётся сопоставить условие с признаком.

1. Установим, что данные углы являются соответственными.
2. По условию их величины равны: 68° = 68°.
3. По признаку равенства соответственных углов заключаем, что a ∥ b.

Ответ: прямые a и b параллельны, потому что их соответственные углы равны.

Задача 2

Внутренние накрест лежащие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Нужно найти x и доказать параллельность. Поскольку углы накрест лежащие, при доказательстве их следует приравнять.

1. Составим уравнение: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Перенесём слагаемые: 40 = 2x, поэтому x = 20.
3. Проверим углы: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°. Они равны, значит, по признаку накрест лежащих углов прямые параллельны.

Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Задача 3

Внутренние односторонние углы равны 2x + 20° и 4x + 10°. Для этой пары нужно использовать не равенство, а сумму 180°. После нахождения x останется проверить условие признака.

1. Составим уравнение: 2x + 20 + 4x + 10 = 180.
2. Получаем 6x + 30 = 180, откуда 6x = 150 и x = 25.
3. Углы равны 70° и 110°, их сумма составляет 180°. Следовательно, по признаку односторонних углов прямые параллельны.

Ответ: x = 25; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Соответственные углы часто путают с накрест лежащими. Ошибка появляется, если смотреть только на близость углов, а не на их положение относительно секущей. Проверьте, находятся ли углы в одинаковых местах или внутри полосы по разные стороны секущей.

Равенство односторонних внутренних углов само по себе не доказывает параллельность. Эти углы должны иметь сумму 180°, а не обязательно быть равными. Для проверки сложите выражения, обозначающие углы.

Иногда в признаке односторонних углов используют разность или сравнивают их величины. Это неверно, потому что условие связано с развернутым углом. Запишите рядом формулу: α + β = 180°.

Пятый постулат применяют без указания стороны пересечения. Из-за этого теряется его главный вывод о расположении прямых. Найдите сторону секущей, где сумма внутренних односторонних углов меньше 180°.

Связь с другими темами

Перед изучением признаков нужно знать виды углов, свойства смежных и вертикальных углов. Они помогают преобразовывать углы на чертеже и находить недостающие величины. Также понадобится умение решать простые линейные уравнения.

Признаки параллельности используются в доказательствах геометрических задач. С их помощью устанавливают параллельность сторон фигур, а затем применяют свойства параллельных прямых. Это особенно полезно при работе с треугольниками и четырёхугольниками.

Пятый постулат относится к аксиоматическому построению геометрии. Он объясняет особенности геометрии Евклида и подводит к дальнейшему изучению её основных утверждений. Понимание постулата помогает увидеть связь между чертежом и логикой доказательства.

Что запомнить

• Равные соответственные углы — признак параллельности прямых.
• Равные накрест лежащие углы — признак параллельности прямых.
• Сумма односторонних внутренних углов 180° — признак параллельности прямых.
• Если сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, прямые пересекаются со стороны этой суммы.
• Перед применением признака нужно точно определить пару углов на чертеже.