"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Параллельные прямые не пересекаются, даже если продолжать их сколько угодно. Когда такую пару пересекает третья прямая — секущая, — образуются восемь углов, связанные между собой особыми соотношениями. Накрест лежащие и соответственные углы оказываются равными, а сумма односторонних равна 180°. Эти свойства помогают вычислять углы и доказывать, что прямые параллельны. Главное — различать пары углов и применять свойство только тогда, когда параллельность уже установлена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые a и b параллельны, записывают a ∥ b. Это понятие нужно, чтобы описывать особое положение прямых и использовать связанные с ним свойства углов.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. Она словно связывает два места пересечения и помогает сравнивать углы, образованные каждой парой прямых. Именно относительно секущей определяют виды углов, важные для изучения параллельности.
Накрест лежащие углы находятся между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Их можно представить как углы, расположенные внутри пары прямых напротив друг друга относительно секущей. При параллельных прямых такая пара равна, поэтому по известной величине одного угла можно найти другой.
Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух точек пересечения: например, оба находятся сверху от своей прямой и справа от секущей. Односторонние углы лежат между прямыми по одну сторону секущей. Эти названия позволяют точно выбрать нужную пару: соответственные углы равны, а сумма односторонних составляет 180°.
Когда секущая пересекает две прямые в разных точках, в каждом месте пересечения образуются четыре угла — всего восемь. Их удобно рассматривать не по одному, а парами: по расположению между прямыми, по сторонам секущей или по одинаковому положению у двух пересечений. Такое сравнение помогает увидеть, какие углы связаны между собой, если прямые параллельны.
Если две прямые параллельны, накрест лежащие углы равны. Чтобы понять почему, можно проследить связь одного такого угла с углом при другом пересечении: накрест лежащий угол равен ему как вертикальный или как соответственный — в зависимости от выбранного расположения. В частности, равенство соответственных углов связано с тем, что при одном пересечении вертикальные углы равны, а углы в одинаковом положении сопоставляются. Поэтому на чертеже важно правильно определить, какая именно пара сравнивается.
Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Один из них равен накрест лежащему углу, который расположен у другого пересечения. Этот накрест лежащий угол и второй односторонний образуют смежную пару: у них одна сторона общая, а две другие продолжают друг друга. Смежные углы составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180°.
Зная величину одного угла, можно найти остальные, потому что у пересечения есть вертикальные и смежные углы, а при параллельных прямых — ещё равные накрест лежащие и соответственные. Сначала определяют углы, равные данному, затем находят смежные с ними, вычитая известную величину из 180°. Например, если один угол равен 42°, смежный с ним равен 180° − 42° = 138°. В результате все восемь углов распределяются на четыре угла по 42° и четыре по 138°.
Перечисленные свойства можно применять, только если известно, что прямые параллельны. Если параллельность ещё не доказана, нельзя просто объявить накрест лежащие углы равными или односторонние дополнительными до 180°. Обратные утверждения называют признаками параллельности: например, равенство накрест лежащих углов позволяет доказать, что прямые параллельны. Так свойство используют для вычислений, а признак — для доказательства.
В таблице указано, где искать каждую пару и какое соотношение между углами выполняется при параллельных прямых. Сначала найди на чертеже положение углов относительно секущей и двух прямых, а затем выбери строку таблицы. Для проверки вычислений помни также, что смежные углы в сумме равны 180°.
| Пара углов | Расположение | Соотношение |
|---|---|---|
| Накрест лежащие | Между прямыми, по разные стороны секущей | Равны |
| Соответственные | В одинаковом положении у двух пересечений | Равны |
| Односторонние | Между прямыми, по одну сторону секущей | В сумме 180° |
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 68°. Найдите второй. Здесь уже сказано, что прямые параллельны, поэтому можно применить свойство накрест лежащих углов. Их величины должны совпадать.
Ответ: 68°.
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один односторонний угол равен 127°. Найдите второй. Односторонние углы не равны обязательно: их сумма составляет 180°. Поэтому неизвестный угол найдём как часть развернутого угла, оставшуюся после вычитания известного.
Ответ: 53°.
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из образовавшихся углов равен 42°. Найдите все остальные углы. Сначала используем вертикальные углы и свойства углов при параллельных прямых, чтобы найти углы, равные данному. Затем вычислим смежные с ними углы: вместе с углом 42° они составляют 180°.
Ответ: три оставшихся угла равны 42°, четыре угла равны 138°.
Ошибка: считать односторонние углы равными. Так бывает, если перепутать их с накрест лежащими или соответственными; на самом деле их сумма при параллельных прямых равна 180°. Проверь себя: если один угол 127°, второй должен быть 53°, а не 127°.
Ошибка: путать соответственные и накрест лежащие углы. Оба вида определяются по положению у двух пересечений, поэтому без внимательного чертежа их легко смешать. Проверь, находятся ли углы между прямыми и по разные стороны секущей: если да, они накрест лежащие; если стоят одинаково у двух пересечений, соответственные.
Ошибка: применять свойства параллельных прямых, не установив параллельность. Равенство углов может быть дано условием или следовать из доказательства, но его нельзя считать известным без основания. Проверь, указано ли в задаче, что прямые параллельны, или доказано ли это с помощью признака.
Ошибка: при нахождении смежного угла складывать его с данным вместо того, чтобы найти разность до 180°. Это происходит, если забыть, что смежные углы образуют развернутый угол. Проверь результат: сумма найденного угла и данного должна равняться 180°.
Для работы с секущей нужно уметь распознавать виды углов при пересечении двух прямых, а также знать свойства смежных и вертикальных углов. Смежные углы дают в сумме 180°, а вертикальные равны; эти факты объясняют соотношения между углами при параллельных прямых. Свойства и признаки параллельности пригодятся, когда нужно доказать параллельность сторон или вычислить углы в геометрических фигурах.
Какие углы называют накрест лежащими?
Это углы, лежащие между двумя прямыми и по разные стороны секущей. При параллельных прямых такие углы равны.
Как отличить соответственные углы от накрест лежащих?
Накрест лежащие углы находятся между прямыми по разные стороны секущей. Соответственные занимают одинаковое положение при двух пересечениях: например, оба расположены сверху от своих прямых и справа от секущей.
Почему сумма односторонних углов равна 180°?
При параллельных прямых односторонний угол равен накрест лежащему углу при другом пересечении. Этот накрест лежащий угол и второй односторонний составляют смежную пару, сумма которой равна 180°.
Можно ли по равенству углов доказать, что прямые параллельны?
Да, для этого используют обратные утверждения — признаки параллельности прямых. Например, если накрест лежащие углы равны или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Как найти все углы, если известен один из них?
Сначала найдите равные ему углы: это вертикальный угол, а при параллельных прямых также соответствующие и накрест лежащие. Смежные с ними углы равны 180° минус известная величина. Так определяются все восемь углов.
§15. Свойства параллельных прямых
