"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
У треугольника есть три внутренние угла и три стороны, и между ними действуют важные правила. Сумма внутренних углов всегда равна 180°, а внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Длины сторон тоже связаны: сумма любых двух должна быть больше третьей. Эти свойства помогают находить неизвестные углы, проверять, можно ли построить треугольник с заданными длинами, и доказывать геометрические утверждения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма углов треугольника — утверждение о том, что градусные меры трёх его внутренних углов в сумме дают 180°. Например, если известны два угла, это правило позволяет найти третий, не измеряя его. Оно также помогает проверять, могут ли заданные три величины быть углами одного треугольника.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов. Чтобы его получить, продолжают одну из сторон за вершину: новый угол между продолжением стороны и другой стороной треугольника будет внешним. Он нужен, в частности, чтобы находить углы, когда известен внешний угол.
Неравенство треугольника — свойство, согласно которому каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Иначе говоря, по трём отрезкам нельзя построить треугольник, если самый длинный отрезок равен или больше суммы двух остальных. Это правило помогает отличить возможные длины сторон от невозможных.
Стороны треугольника — три отрезка, соединяющие его вершины и образующие фигуру. Если вершины обозначены A, B и C, стороны записывают как AB, BC и AC, а их длины часто обозначают a, b и c; обычно a лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C. Такая связь обозначений помогает сопоставлять стороны и противолежащие углы при решении задач.
Чтобы объяснить сумму углов, через одну вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Две другие стороны пересекают эту прямую и становятся секущими. По свойству параллельных прямых углы, образованные секущими с проведённой прямой, равны двум углам треугольника, лежащим у противоположной стороны. Эти два угла вместе с углом при выбранной вершине составляют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°.
Внешний угол смежен с внутренним углом при той же вершине, поэтому сумма этих двух углов равна 180°. Внутренний угол вместе с двумя другими углами треугольника тоже даёт 180°. Значит, внешний угол равен сумме двух оставшихся внутренних углов: из равных сумм вычитается один и тот же угол. Эти два угла называют не смежными с внешним.
Представим две вершины треугольника как начало и конец ломаной из двух сторон, а затем сравним её с прямым отрезком между теми же точками. Ломаная длиннее соединяющего её отрезка, потому что путь с поворотом не короче прямого. Значит, сумма двух сторон больше третьей стороны, которая соединяет их концы. Повторив рассуждение для каждой пары сторон, получим неравенство треугольника.
При проверке трёх заданных длин достаточно выбрать наибольшую и сравнить её с суммой двух остальных. Если сумма больше, то наибольшая сторона тоже меньше этой суммы, а каждая из двух меньших сторон тем более меньше суммы двух других. Если сумма равна наибольшей длине или меньше неё, треугольник построить нельзя. Например, для длин 4, 7 и 12 проверяем только 12 < 4 + 7: условие не выполняется.
Из неравенства треугольника следуют удобные границы для третьей стороны. Если две стороны имеют длины a и b, то третья x должна быть меньше их суммы: x < a + b. Кроме того, каждая из известных сторон меньше суммы двух других; из этих условий получается x > |a − b|. Поэтому разность длин любых двух сторон меньше третьей, а сумма этих сторон больше третьей: |a − b| < x < a + b.
| Понятие или проверка | Свойство | Как применять |
|---|---|---|
| Сумма внутренних углов | Равна 180° | Вычесть сумму известных углов из 180° |
| Внешний угол | Равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним | Сложить удалённые внутренние углы или найти один из них вычитанием |
| Проверка трёх длин на возможность образовать треугольник | Наибольшая длина меньше суммы двух остальных | Сравнить только наибольшую длину с суммой двух других |
| Границы длины третьей стороны | |a − b| < x < a + b | Найти строгие нижнюю и верхнюю границы для x |
Сначала определите, что требуется найти: угол, внешний угол или возможную длину стороны. Затем выберите соответствующую строку и запишите условие до вычислений. Знак строгого неравенства означает, что равенство на границе не подходит.
В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Здесь известны два внутренних угла, поэтому используем правило, что все три вместе составляют 180°, и вычитаем известные величины.
Ответ: 65°.
Внешний угол треугольника равен 125°, а один из двух внутренних углов, не смежных с ним, равен 52°. Найдите второй такой угол. Внешний угол равен сумме этих двух внутренних углов, поэтому неизвестный угол найдём вычитанием.
Проверка: 52° + 73° = 125°, как и требуется. Ответ: 73°.
Могут ли отрезки длиной 4 см, 7 см и 12 см быть сторонами треугольника? Если две стороны равны 5 см и 9 см, укажите целочисленные значения длины третьей стороны. В первой части сравниваем наибольшую длину с суммой двух меньших, а во второй используем строгие границы для третьей стороны.
Ответ: отрезки 4 см, 7 см и 12 см треугольник не образуют; целочисленная третья сторона может иметь длину от 5 до 13 см включительно.
Иногда сумму углов треугольника принимают за 360°, путая её с суммой углов вокруг одной точки. У треугольника три внутренних угла, которые вместе образуют 180°, а не полный оборот. Чтобы проверить себя, сложите углы найденного треугольника: результат должен быть 180°.
При поиске третьего угла можно ошибочно прибавить известные углы к 180°. Так делают, если забывают, что сумма всех трёх уже равна 180°: известные углы нужно вычесть. Самопроверка простая: найденный угол должен быть положительным, а сумма всех трёх должна дать 180°.
Внешний угол иногда путают с внутренним смежным углом и приравнивают к одному из удалённых внутренних углов. Но внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; с внутренним углом при своей вершине он в сумме даёт 180°. Проверьте, какие именно углы сравниваете, и используйте оба свойства по назначению.
Для сторон недостаточно проверить случайное одно неравенство, а равенство суммы двух сторон третьей тоже не подходит. Если сумма равна третьей стороне, отрезки вытянутся в прямую, а треугольник не получится. Выберите наибольшую длину и убедитесь, что она строго меньше суммы двух остальных.
Для доказательства суммы углов нужны свойства смежных и вертикальных углов, а также углов, образованных параллельными прямыми и секущей. Поэтому перед решением полезно вспомнить, какие углы равны и какие в сумме дают 180°. Новые свойства помогают находить неизвестные углы и проверять возможность существования треугольника.
Сумма углов и неравенство треугольника пригодятся при классификации треугольников, решении задач на углы и доказательстве геометрических утверждений. Например, по сторонам можно определить, какие длины вообще возможны, а по углам — проверить, соответствует ли результат условиям задачи. Эти правила часто используются вместе с другими свойствами треугольников.
Почему сумма углов любого треугольника равна 180°?
Через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Два угла при этой прямой равны двум углам треугольника как накрест лежащие, а вместе с третьим образуют развёрнутый угол в 180°.
Как найти неизвестный угол треугольника, если известны два других?
Сложите два известных угла и вычтите их сумму из 180°. Например, если известны 48° и 67°, то третий угол равен 180° − 48° − 67° = 65°.
Как связаны внешний угол треугольника и его внутренние углы?
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые не смежны с ним. Это следует из того, что он смежен с третьим внутренним углом, а сумма углов треугольника равна 180°.
Как определить, могут ли три заданных отрезка быть сторонами треугольника?
Найдите длину самого большого отрезка и сравните её с суммой двух остальных. Треугольник получится, только если эта сумма строго больше наибольшей длины.
Как найти возможные значения третьей стороны, если известны две стороны?
Если известные стороны равны a и b, а третья — x, используйте условие |a − b| < x < a + b. Если нужны целочисленные значения, выберите целые числа, строго лежащие между этими границами.
§16. Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника
