§ 28. Сумма углов многоугольника

Определения и обозначения

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя его соседними сторонами с вершиной в общей точке этих сторон. Например, у четырёхугольника в каждой вершине соседние стороны образуют один внутренний угол. Этот угол находится внутри фигуры, поэтому его не следует путать с углом, который образуют продолжения сторон снаружи. Понятие нужно, чтобы точно определить, какие именно углы мы будем складывать.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседними называют вершины, между которыми нет стороны многоугольника. Например, у четырёхугольника диагональ соединяет противоположные вершины. Диагонали помогают разделить многоугольник на более простые фигуры, углы которых легче посчитать.

Число сторон многоугольника обозначают буквой n, а сам многоугольник с n сторонами называют n-угольником. Например, у пятиугольника n = 5, а у восьмиугольника n = 8. Это обозначение позволяет записывать одно правило сразу для фигур с разным количеством сторон. Подставляя вместо n конкретное число, можно получить сумму углов нужного многоугольника.

Сумма углов многоугольника — это сумма величин всех его внутренних углов. Если у фигуры несколько внутренних углов, каждый из них учитывают ровно один раз. Результат выражают в градусах, как и величины отдельных углов. Эта сумма нужна, чтобы находить неизвестные углы и устанавливать связь между углами и числом сторон.

Как это устроено

У треугольника три внутренних угла, и их сумма равна 180°. Поэтому для треугольника сумма сразу равна одному «треугольному набору» углов. Четырёхугольник можно разделить диагональю на два треугольника. Углы этих треугольников вместе составляют все внутренние углы четырёхугольника, значит, их сумма равна 2 · 180° = 360°.

Тот же способ работает для выпуклого многоугольника с любым числом сторон. Выпуклым называют многоугольник, у которого любой отрезок между двумя точками внутри фигуры целиком лежит внутри неё. Выберем одну вершину и проведём из неё диагонали ко всем несоседним вершинам. Диагонали не пересекаются внутри выпуклого многоугольника и делят его на треугольники.

Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к ней самой и к двум соседним вершинам: это не даст новых треугольников, потому что стороны уже есть. Поэтому из неё выходят n − 3 диагонали, а вместе с исходящими из неё сторонами они образуют n − 2 треугольника. Например, у пятиугольника получается три треугольника. Каждый угол исходного многоугольника входит в углы этих треугольников, а дополнительные части углов внутри фигуры тоже учитываются в их общей сумме.

Сумма углов каждого образовавшегося треугольника равна 180°. Если треугольников n − 2, то сумма всех их углов равна (n − 2) · 180°. Эти углы вместе составляют все внутренние углы выпуклого многоугольника, поэтому получаем формулу: сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°. Именно число частей, на которые разбилась фигура, объясняет появление n − 2, а не n.

Для треугольника n = 3, поэтому формула даёт (3 − 2) · 180° = 180°. Для четырёхугольника n = 4, и сумма равна (4 − 2) · 180° = 360°. Если многоугольник правильный, то все его стороны и все внутренние углы равны. Тогда, чтобы найти один угол, общую сумму делят на количество углов n: ((n − 2) · 180°) / n.

Число сторон и сумма внутренних углов

Для первых четырёх строк число треугольников помогает проверить, как получена сумма: количество треугольников умножают на 180°. В последней строке записана уже не сумма, а величина одного угла правильного многоугольника. Чтобы применить таблицу к конкретной фигуре, подставь её число сторон вместо n.

Разбор задач

Задача 1. Найдите сумму внутренних углов шестиугольника. У шестиугольника шесть сторон, значит, в формуле нужно взять n = 6. Сначала определим, на сколько треугольников его можно разделить из одной вершины, а затем сложим их углы. Так мы используем не отдельный рисунок, а общее правило.

1. Запишем число сторон: n = 6.
2. Подставим его в формулу: (6 − 2) · 180°.
3. Вычислим: 4 · 180° = 720°.

Ответ: сумма внутренних углов шестиугольника равна 720°. Проверка рассуждения проста: из одной вершины шестиугольник разбивается на четыре треугольника, сумма углов каждого из которых — 180°.

Задача 2. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1260°. Сколько у него сторон? Здесь неизвестно n, поэтому вместо подстановки числа сторон составим уравнение по формуле суммы. После этого нужно освободить n от действий, выполненных с ним в формуле. Полученное число должно быть целым и не меньше трёх, ведь многоугольник имеет как минимум три стороны.

1. Запишем уравнение: (n − 2) · 180° = 1260°.
2. Разделим обе части на 180°: n − 2 = 1260 / 180 = 7.
3. Прибавим 2: n = 9.

Ответ: у многоугольника 9 сторон. Проверим: (9 − 2) · 180° = 7 · 180° = 1260°, значит, найденное число сторон подходит.

Задача 3. Найдите внутренний угол правильного десятиугольника. Все углы правильного многоугольника равны, поэтому сначала найдём их общую сумму, а затем разделим её на десять. Не нужно считать, что каждый угол равен всей сумме: сумма относится ко всем углам сразу. Для десятиугольника n = 10.

1. Найдём сумму: (10 − 2) · 180° = 8 · 180° = 1440°.
2. Разделим её на число углов: 1440° / 10 = 144°.

Ответ: каждый внутренний угол правильного десятиугольника равен 144°. Такой результат ожидаем: каждый угол меньше 180°, поскольку внутренний угол выпуклого многоугольника меньше развёрнутого угла.

Типичные ошибки

Иногда вместо числа сторон в формулу подставляют число диагоналей. Это происходит из-за того, что диагонали используются при разбиении фигуры, но буква n обозначает именно количество сторон. Перед вычислением пересчитай стороны многоугольника; если известно только число диагоналей, сначала установи число сторон отдельно. Например, у пятиугольника n = 5, даже если диагоналей у него другое количество.

Другая ошибка — записывать n · 180° вместо (n − 2) · 180°. Так поступают, если помнят, что каждый треугольник даёт 180°, но забывают, что треугольников на два меньше, чем сторон. Проверить запись можно на треугольнике: при n = 3 сумма должна получиться 180°, а не 540°. Полезно сначала определить число треугольников и лишь затем умножать его на 180°.

Формула (n − 2) · 180° даёт сумму всех внутренних углов, а не величину одного угла. Если требуется один угол произвольного многоугольника, одной этой суммы недостаточно: углы могут быть разными. Только для правильного многоугольника они равны, и тогда сумму делят на n. Проверь условие задачи: сказано ли, что многоугольник правильный и требуется именно один угол?

Для правильного многоугольника могут найти общую сумму и забыть разделить её на число сторон. Причина в том, что формула суммы выглядит как законченный ответ, хотя вопрос может требовать величину одного угла. Чтобы проверить себя, сравни ответ с суммой: один угол правильного многоугольника должен быть в n раз меньше этой суммы. Например, для десятиугольника после нахождения суммы нужно разделить её на 10.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужна теорема о сумме углов треугольника: она равна 180°. Также пригодятся понятия вершины и стороны многоугольника, диагонали и умение делить фигуру на треугольники. При решении задач важно уметь складывать и вычитать углы, а при известной сумме составлять простое уравнение. Формула используется в задачах на углы многоугольников и помогает находить углы правильных многоугольников.

Что запомнить

• Выпуклый n-угольник можно разбить диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°.
• У треугольника сумма внутренних углов равна 180°.
• У четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°.
• У правильного n-угольника все внутренние углы равны.
• Величина одного внутреннего угла правильного n-угольника равна ((n − 2) · 180°) / n.