§ 29. Параллелограмм

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обозначим его ABCD: тогда AB ∥ CD и BC ∥ AD. Это определение помогает отличить параллелограмм от других четырёхугольников: должны быть параллельны обе пары сторон, а не только одна.

Противоположными называют стороны, не имеющие общей вершины, и углы, не имеющие общей стороны. Например, в ABCD стороны AB и CD противоположные, как и BC и AD; противоположные углы — A и C, B и D. Такое обозначение позволяет говорить о паре элементов, свойства которых связаны друг с другом.

Смежные углы параллелограмма имеют общую сторону, например ∠A и ∠B. Поскольку их стороны лежат на параллельных прямых и пересекаются секущей, эти углы в сумме дают 180°. Это удобно, когда известна величина одного угла и нужно найти соседний.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В ABCD диагонали — AC и BD, а их пересечение обычно обозначают O. Это обозначение помогает записывать отношения частей диагоналей и доказывать свойства фигуры.

Как это устроено

Посмотрим, как параллельные стороны влияют на углы. Если AB ∥ CD, то прямая AD является секущей, то есть пересекает эти параллельные прямые; накрест лежащие углы при этом равны. Такими же рассуждениями с другой парой параллельных сторон устанавливают равенство противоположных углов. Углы с общей стороной, например A и B, составляют развернутый угол по свойству секущей, поэтому их сумма равна 180°.

Чтобы сравнить противоположные стороны, проведём диагональ AC. Она разделит ABCD на треугольники ABC и CDA. Из AB ∥ CD получаем равенство углов BAC и DCA, а из BC ∥ AD — равенство углов BCA и DAC; сторона AC у треугольников общая. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а значит, AB = CD и BC = AD как соответствующие стороны.

Равенство противоположных углов можно объяснить и через сумму углов четырёхугольника. Соседние углы A и B дают 180°, так же как B и C, поэтому ∠A = ∠C. Аналогично получается ∠B = ∠D. Значит, если известен один угол, противоположный ему равен ему, а каждый соседний дополняет его до 180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются, потому что отрезок AC соединяет вершины, а BD проходит между двумя другими вершинами внутри выпуклого четырёхугольника. Пусть их точка пересечения — O. В треугольниках AOB и COD равны вертикальные углы при O, а ещё равны накрест лежащие углы при параллельных AB и CD; сторона AB равна CD. Поэтому треугольники равны, и AO = OC, BO = OD. Так точка O делит каждую диагональ пополам.

Свойства можно использовать и в обратную сторону — для доказательства, что четырёхугольник является параллелограммом. Достаточно установить, что обе пары его противоположных сторон равны, или что одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна. Ещё один признак: диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. Каждый из этих наборов условий приводит к параллельности обеих пар противоположных сторон.

Свойства и признаки параллелограмма

Для решения задачи сначала определите, нужно ли найти элементы уже данного параллелограмма или доказать, что фигура им является. В первом случае выбирайте свойства, во втором — признак и проверьте каждое его условие. В таблице важно не смешивать утверждение о свойстве с обратным ему признаком.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD угол A равен 65°. Найти остальные углы. Нужно различить угол, противоположный A, и два соседних: для первой пары действует равенство, для каждой соседней пары — сумма 180°.

1. Углы A и C противоположные, поэтому ∠C = ∠A = 65°.
2. Углы A и B соседние, значит, ∠B = 180° − 65° = 115°.
3. Углы B и D противоположные, поэтому ∠D = 115°.

Ответ: ∠B = 115°, ∠C = 65°, ∠D = 115°. Проверка: сумма четырёх углов равна 65° + 115° + 65° + 115° = 360°.

Задача 2. Стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см. Найти периметр. Затем определить неизвестную сторону, если периметр равен 36 см, а одна сторона равна 8 см. Периметр — сумма длин всех сторон; противоположные стороны равны, поэтому каждая из двух разных длин встречается дважды.

1. Для первой фигуры составим сумму: P = 7 + 11 + 7 + 11 = 36 см.
2. В другой фигуре обозначим неизвестную соседнюю сторону через x. Тогда P = 2 · (8 + x).
3. Подставим значение периметра: 2 · (8 + x) = 36, значит, 8 + x = 18 и x = 10 см.

Ответ: периметр первой фигуры — 36 см; неизвестная сторона второй — 10 см. Проверка: её стороны равны 8, 10, 8 и 10 см, а их сумма действительно составляет 36 см.

Задача 3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Доказать, что ABCD — параллелограмм. Здесь даны именно условия признака по диагоналям: каждая из них делится точкой пересечения на две равные части.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD.
2. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы OAB и OCD равны. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC, поэтому AB ∥ CD.
4. Аналогично сравним треугольники AOD и COB: получим AD ∥ BC. Параллельны обе пары противоположных сторон.

Ответ: ABCD — параллелограмм по определению. В доказательстве использовали не просто пересечение диагоналей, а равенство каждой пары их частей.

Типичные ошибки

Ошибка — называть параллелограммом любой четырёхугольник, у которого параллельна одна пара сторон. Так путают параллелограмм с фигурами, для которых такого условия достаточно по другому определению. Проверьте вторую пару: по определению параллелограмма обе пары противоположных сторон должны быть параллельны.

Иногда противоположные элементы принимают за смежные или наоборот. Это приводит, например, к неверному выводу, что соседние стороны равны или соседние углы равны. Проверьте вершины: у противоположных сторон нет общей вершины, а у смежных углов есть общая сторона; соседние углы в параллелограмме в сумме дают 180°.

Часто думают, что диагонали параллелограмма обязательно равны. Причина — свойство диагоналей вспоминают неточно: они делятся пополам, но это не означает равенства диагоналей между собой. Для проверки обозначьте точку пересечения O и запишите AO = OC, BO = OD; равенство AC и BD из этого не следует.

Ещё одна ошибка — применять признак, проверив только часть его условий, например равенство лишь одной пары сторон. Этого недостаточно, потому что одна пара равных сторон сама по себе не устанавливает параллельность второй. Перед выводом выпишите все условия выбранного признака и проверьте их; для диагонального признака нужны равенства обеих пар частей.

Связь с другими темами

Для изучения параллелограмма понадобятся понятия четырёхугольника, углов и свойства параллельных прямых. При доказательстве равенства его сторон используют признаки равенства треугольников. Позже прямоугольник, ромб и квадрат будут рассматриваться как фигуры со специальными свойствами параллелограмма. Его стороны, углы и диагонали помогут решать задачи о площадях и разбиении фигур на треугольники. Те же отношения между диагоналями пригодятся при изучении координат и векторов.

Что запомнить

• Параллелограмм — четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма двух смежных углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, можно применить любой подходящий признак и проверить все его условия.