§ 30. Признаки параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Например, в параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а BC и AD тоже параллельны. Название фигуры записывают по вершинам подряд: ABCD. Это определение помогает понять, что именно требуется доказать, если в задаче просят установить, что четырёхугольник является параллелограммом.

Признак параллелограмма — условие, по которому можно установить, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Для этого не обязательно заранее знать, что обе пары его сторон параллельны: можно проверить равенства сторон или диагоналей. Признаки нужны, чтобы перейти от данных задачи к доказательству нужного вида фигуры. Важно проверить все условия выбранного признака, а не только часть из них.

Диагонали четырёхугольника — отрезки, соединяющие его противоположные вершины. В четырёхугольнике ABCD это AC и BD; они могут пересекаться в точке O. Обозначения позволяют точно записать, какие отрезки равны, например AO = OC. Диагонали часто помогают разбить четырёхугольник на треугольники и сравнить их.

Как это устроено

Если обе пары противоположных сторон равны, проведём диагональ AC. Получатся треугольники ABC и CDA: у них AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов следует, что AB и CD образуют с AC равные углы, поэтому эти стороны параллельны; таким же образом получаем BC ∥ AD. Следовательно, обе пары противоположных сторон параллельны и ABCD — параллелограмм.

Теперь пусть одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, например AB ∥ CD и AB = CD. Проведём диагональ AC: треугольники BAC и DCA имеют равные стороны AB и CD, общую сторону AC и равные углы BAC и DCA. Последние углы равны, потому что AC пересекает параллельные прямые AB и CD. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними; поэтому углы BCA и DAC равны. Эти углы показывают, что BC ∥ AD, и вторая пара сторон тоже параллельна.

Если диагонали пересекаются и точка пересечения делит каждую пополам, то AO = OC и BO = OD. У треугольников AOB и COD равны две соответствующие стороны, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а соответствующие углы дают AB ∥ CD. Рассмотрев треугольники AOD и COB, тем же способом получим AD ∥ BC. Значит, четырёхугольник — параллелограмм.

Признак и свойство отвечают на разные вопросы. Признак используют, когда ещё требуется доказать, что фигура — параллелограмм; например, проверяют равенство двух пар противоположных сторон. Свойство применяют, когда этот факт уже установлен, например используют равенство противоположных сторон параллелограмма для вычислений. Если поменять их местами, в доказательстве может появиться логический круг: нельзя применять свойства фигуры, принадлежность которой ещё не доказана.

Выбор признака зависит от известных в задаче данных. Если заданы равенства обеих пар противоположных сторон, подходит первый признак; если равна и параллельна только одна пара — второй. Когда даны длины частей диагоналей, проверь, делит ли точка пересечения пополам каждую диагональ. Сначала сопоставь условие с признаком, затем проверь каждый его пункт и только после этого сформулируй вывод.

Признаки параллелограмма

Пользуйся таблицей как списком проверок: найди строку, которая подходит к данным задачи, и сверь дополнительное условие. Если хотя бы один пункт выбранного признака не выполнен или не доказан, вывод делать нельзя. После проверки можно записать, что четырёхугольник является параллелограммом.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Сопоставим данные с признаками: равны обе пары противоположных сторон — AB и CD, BC и AD.
2. Это в точности условие первого признака параллелограмма. Поэтому дополнительных сведений о диагоналях или углах искать не требуется.
3. По признаку заключаем, что ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм, так как обе пары его противоположных сторон равны.

Задача 2. В четырёхугольнике ABCD AB ∥ CD и AB = CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Проведём диагональ AC. Она делит четырёхугольник на треугольники BAC и DCA.
2. В этих треугольниках AB = CD по условию, AC — общая сторона, а углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при AB ∥ CD.
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, равны углы BCA и DAC; это накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC, поэтому BC ∥ AD.
4. Теперь пара AB и CD параллельна по условию, а вторая пара BC и AD параллельна по доказанному. Значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм, поскольку обе пары противоположных сторон параллельны.

Задача 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы ABO и CDO равны; они показывают, что AB ∥ CD.
3. Теперь сравним треугольники AOD и COB. Стороны AO и OC, DO и OB равны, а углы AOD и COB — вертикальные, значит, треугольники равны.
4. Из равенства соответствующих углов получаем AD ∥ BC. Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм, так как точка пересечения делит обе диагонали пополам.

Типичные ошибки

Ошибка — считать достаточным равенство только одной пары противоположных сторон. Равенство AB = CD само по себе не сообщает, параллельны ли эти стороны, поэтому четырёхугольник может не быть параллелограммом. Так ошибаются, когда запоминают только часть условия второго признака. Проверь себя: для одной пары сторон должны быть установлены и равенство, и параллельность.

Нельзя делать вывод «четырёхугольник — параллелограмм» только потому, что одна пара его сторон параллельна. Это лишь часть определения параллелограмма, где должны быть параллельны обе пары противоположных сторон. Ошибку допускают, принимая необходимое условие за достаточное. Перечисли обе пары сторон и проверь, что для второй пары тоже есть доказательство или что выполнен другой признак.

Фраза «диагонали делятся пополам» должна означать, что точка пересечения делит пополам каждую из двух диагоналей. Например, для диагоналей AC и BD, пересекающихся в O, нужны равенства AO = OC и BO = OD. Иногда проверяют только одну диагональ или не указывают, относительно какой точки идёт деление. Чтобы проверить себя, запиши оба равенства отрезков с точкой пересечения.

Нельзя ссылаться на признак по равным противоположным сторонам, если доказано равенство лишь одной пары. Ошибку допускают, когда видят в условии несколько равных отрезков, но не сопоставляют их с нужными сторонами четырёхугольника. Проверь записи: должны быть установлены AB = CD и BC = AD или соответствующие им равенства для другой разметки. Если одного равенства нет, выбери иной признак и докажи его условия.

Связь с другими темами

Для изучения признаков нужно знать, что такое параллельные прямые и параллелограмм, а также признаки равенства треугольников. В доказательствах используются углы, возникающие при пересечении параллельных прямых секущей: равенство накрест лежащих углов позволяет обосновать параллельность. Эти знания связывают свойства треугольников с задачами о четырёхугольниках. Если какой-то шаг доказательства непонятен, проверь, какое равенство сторон или углов его обосновывает.

Признаки пригодятся в задачах, где нужно сначала установить вид четырёхугольника, а затем найти его стороны, углы или диагонали. После доказательства, что фигура — параллелограмм, можно применять его свойства. Поэтому важно разделять два этапа решения: сперва доказать, что фигура подходит под определение, затем использовать известные свойства.

Что запомнить

• Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, он является параллелограммом.
• Если одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, четырёхугольник является параллелограммом.
• Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, он является параллелограммом.
• Для применения признака достаточно проверить его условия, а не все свойства параллелограмма.
• Равенство только одной пары противоположных сторон само по себе не доказывает, что четырёхугольник — параллелограмм.