"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, не всегда нужно проверять параллельность обеих пар его сторон. Достаточно установить одно из трёх условий: противоположные стороны попарно равны; одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна; диагонали точкой пересечения делятся пополам. Эти условия называют признаками параллелограмма. Они помогают выбрать краткий и обоснованный путь решения задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Признак параллелограмма — условие, по которому можно установить, что четырёхугольник является параллелограммом. Иными словами, признак помогает распознать нужную фигуру по известным данным. Он нужен, когда требуется доказать, что четырёхугольник имеет две пары параллельных противоположных сторон.
Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом. Например, для ABCD это означает, что AB = CD и BC = AD. Это условие удобно применять, когда в задаче уже известны длины обеих пар противоположных сторон.
Если одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то четырёхугольник является параллелограммом. Например, AB ∥ CD и AB = CD — два условия для одной пары сторон, а не для разных пар. Такой признак пригодится, если параллельность и равенство уже даны или легко доказываются.
Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. Диагонали — отрезки, соединяющие противоположные вершины; если они пересеклись в точке O, условие записывают как AO = OC и BO = OD. Этот признак особенно полезен в задачах, где известны отрезки диагоналей.
Начнём с равенства противоположных сторон. Проведём диагональ AC четырёхугольника ABCD: она образует треугольники ABC и CDA. У них AB = CD, BC = AD, а AC — общая сторона, поэтому треугольники равны по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов следует AB ∥ CD и BC ∥ AD, то есть обе пары противоположных сторон параллельны.
Теперь пусть AB и CD — противоположные стороны, причём AB ∥ CD и AB = CD. Проведём диагональ AC: углы BAC и ACD равны как накрест лежащие при параллельных прямых, а AC — общая сторона. Вместе с равенством AB = CD это даёт равенство треугольников BAC и DCA по стороне, углу и стороне. Из равенства соответствующих углов получаем параллельность BC и AD; значит, параллельны обе пары противоположных сторон.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD: две пары их сторон равны по условию, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Равенство соответствующих углов показывает, что AB ∥ CD; тем же рассуждением для треугольников AOD и COB получаем AD ∥ BC.
Чтобы выбрать признак, сначала посмотри, какие данные указаны в условии. Равенства обеих пар противоположных сторон ведут к первому признаку, а равенство вместе с параллельностью одной пары — ко второму. Если даны части диагоналей, проверь, делятся ли обе диагонали точкой пересечения на равные отрезки. Во всех случаях нужно проверить каждое условие выбранного признака, а не только часть.
| Условие для четырёхугольника | Что можно заключить | Основная идея обоснования |
|---|---|---|
| Противоположные стороны попарно равны | Четырёхугольник — параллелограмм | Диагональ образует равные треугольники |
| Одна пара противоположных сторон параллельна и равна | Четырёхугольник — параллелограмм | Диагональ и равенство углов помогают доказать равенство треугольников |
| Диагонали точкой пересечения делятся пополам | Четырёхугольник — параллелограмм | Равенство треугольников даёт параллельность сторон |
Сначала найди в условии задачи сведения из первого столбца, затем выбери соответствующую строку. Третий столбец подсказывает, какое обоснование можно использовать, если нужно расписать доказательство. Вывод во всех трёх случаях одинаков: четырёхугольник является параллелограммом.
Задача 1. В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = CD и BC = AD. Докажем, что ABCD — параллелограмм. Даны равенства обеих пар противоположных сторон, поэтому подходит первый признак; диагональ поможет увидеть, почему он работает.
Ответ: ABCD — параллелограмм по признаку равенства противоположных сторон. Здесь равенство треугольников обосновывает параллельность сторон. Одних равенств отрезков мы не оставляем без объяснения.
Задача 2. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а AB = CD. Докажем, что ABCD — параллелограмм. Здесь не требуется проверять равенство второй пары сторон: пара AB и CD одновременно параллельна и равна.
Ответ: ABCD — параллелограмм по признаку параллельности и равенства одной пары противоположных сторон. В доказательстве использованы обе части условия для AB и CD. Диагональ позволила установить параллельность второй пары.
Задача 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AO = OC и BO = OD. Докажем, что ABCD — параллелограмм. Условия говорят, что обе диагонали разделены точкой пересечения на равные части.
Ответ: ABCD — параллелограмм по признаку деления диагоналей пополам. Для вывода использованы равенства отрезков на обеих диагоналях и вертикальные углы. Простого факта пересечения диагоналей для этого признака недостаточно.
Ошибка: считать, что равенства только одной пары противоположных сторон достаточно. Так бывает из-за того, что запоминают формулировку не полностью и упускают вторую пару. Проверь себя: для первого признака должны быть равны обе пары, а для одной пары нужно дополнительно установить параллельность.
Ошибка: применить признак по одной паре сторон, проверив только равенство или только параллельность. Эти условия относятся к одной и той же паре противоположных сторон и нужны одновременно. Перед выводом выпиши два факта отдельно: стороны равны и стороны параллельны.
Ошибка: путать признак со свойством параллелограмма. Свойства описывают фигуру, о которой уже известно, что она параллелограмм, а признак доказывает, что она им является. Чтобы проверить себя, спроси: это условие дано для неизвестного четырёхугольника или факт о уже установленном параллелограмме?
Ошибка: считать, что диагонали делятся пополам просто потому, что пересекаются. Любые пересекающиеся диагонали имеют точку пересечения, но отрезки на них могут быть неравными. Проверь отдельно оба равенства: AO = OC и BO = OD.
Для доказательств понадобятся определение параллелограмма и свойства параллельных прямых. Нужно узнавать вертикальные и накрест лежащие углы, а также знать, когда они равны. Эти углы помогают связать параллельность сторон с равенством треугольников.
Также пригодятся признаки равенства треугольников. Они позволяют доказать равенство соответствующих углов и сторон, а затем сделать вывод о параллельности прямых. Признаки параллелограмма используют при изучении свойств фигуры, распознавании частных видов четырёхугольников и решении задач на диагонали.
Чем признак параллелограмма отличается от его свойства?
Свойство говорит, что верно для фигуры, которая уже является параллелограммом. Признак работает в обратном направлении: по заданным условиям он позволяет доказать, что четырёхугольник — параллелограмм.
Достаточно ли равенства одной пары противоположных сторон?
Нет, само по себе равенство одной пары не доказывает, что четырёхугольник — параллелограмм. Нужны равенства обеих пар противоположных сторон или дополнительное условие: эта пара должна быть ещё и параллельной.
Почему одной параллельной и равной пары противоположных сторон достаточно?
Если провести диагональ, получатся два треугольника с общей стороной, равными сторонами и равным углом между ними. Треугольники равны, поэтому соответствующие углы дают параллельность второй пары сторон.
Как по диагоналям доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?
Нужно показать, что точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. Тогда треугольники по разные стороны от точки пересечения равны, а из равенства соответствующих углов следует параллельность противоположных сторон.
Нужно ли доказывать равенство треугольников при использовании признаков?
Не всегда: если в задаче уже даны все условия подходящего признака, можно сразу сослаться на него. Но при самостоятельном доказательстве признака или обосновании нужной параллельности часто используют равенство треугольников.
§ 19. Признаки параллелограмма
