§ 20. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Расстояние между параллельными прямыми

Определения и обозначения

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Значит, прямоугольник сохраняет свойства параллелограмма, а прямые углы уточняют, какой именно это параллелограмм.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Как и у любого параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Равенство сторон не означает, что углы прямые: ромб может быть «наклонённым».

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые. Оба определения описывают одну фигуру: у квадрата одновременно равны стороны и все углы прямые. Это помогает распознавать квадрат по любому из двух наборов признаков.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого от любой точки одной прямой до другой. Перпендикуляр — отрезок, который образует с прямой угол. Именно его длину, а не длину любого соединяющего отрезка, принимают за расстояние.

Как это устроено

У прямоугольника противоположные стороны параллельны, потому что это уже заложено в определении параллелограмма. Если одну сторону рассматривать как секущую, то односторонние внутренние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Когда один из них прямой, то есть равен 90°, второй тоже равен 90°. Поэтому достаточно прямого угла параллелограмма, чтобы остальные углы также оказались прямыми.

Диагонали любого параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Это следует из равенства треугольников, которые образуются по разные стороны от точки пересечения: противоположные стороны параллельны, а накрест лежащие углы равны. У прямоугольника есть ещё свойство — диагонали равны. Например, диагонали можно рассмотреть как гипотенузы прямоугольных треугольников с общим катетом и равными противоположными сторонами; по теореме Пифагора их длины совпадают.

У ромба диагонали пересекаются в середине, как у любого параллелограмма. Два соседних отрезка одной диагонали образуют с равными сторонами ромба равнобедренный треугольник; его углы при основании равны. В результате диагональ, проходящая через вершину такого треугольника, делит угол ромба пополам, а диагонали оказываются взаимно перпендикулярными. Значит, каждая диагональ ромба перпендикулярна другой и служит биссектрисой углов при своих концах.

Квадрат одновременно удовлетворяет определениям прямоугольника и ромба. Поэтому к нему применимы оба набора свойств: диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, а также перпендикулярны и делят углы пополам. Здесь нет противоречия: квадрат — особый случай, в котором свойства двух фигур соединяются. Это удобно, когда в задаче дан только один из признаков, например прямые углы или равные стороны.

Пусть две параллельные прямые пересечены перпендикуляром. С любым отрезком, проведённым между прямыми под наклоном, он образует прямоугольный треугольник, где перпендикуляр — катет, а наклонный отрезок — гипотенуза. Гипотенуза длиннее катета, поэтому кратчайшее расстояние задаёт именно перпендикуляр. Перпендикуляры между этими прямыми имеют равную длину: расстояние остаётся постоянным при выборе другой точки.

Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

В таблице «не обязательно» означает, что свойство не выполняется для каждой фигуры такого вида. Проверяй условия задачи и выбирай только те свойства, которые подходят данной фигуре. У квадрата можно использовать сразу все свойства прямоугольника и ромба.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольнике одна сторона равна 5 см, а соседняя — 8 см. Найдите его периметр. Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Чтобы не складывать неизвестные стороны вслепую, воспользуемся тем, что в прямоугольнике противоположные стороны равны.

1. Обозначим данные соседние стороны: 5 см и 8 см. Противоположные им стороны имеют такие же длины, значит, у прямоугольника две стороны по 5 см и две по 8 см.
2. Запишем периметр: P = 5 + 8 + 5 + 8. Сгруппируем равные слагаемые: P = 2 · (5 + 8) = 26 см.

Ответ: 26 см. Можно проверить результат сложением длин всех четырёх сторон: 5 + 8 + 5 + 8 тоже даёт 26 см. Формула 2 · (a + b) работает именно потому, что противоположные стороны прямоугольника равны.

Задача 2. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите сторону ромба. Диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому нужная сторона станет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей.

1. Найдём половины диагоналей: 10 : 2 = 5 см и 24 : 2 = 12 см. Это катеты прямоугольного треугольника, проведённые от точки пересечения диагоналей к соседним вершинам.
2. По теореме Пифагора квадрат стороны равен сумме квадратов катетов: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Значит, c = √169 = 13 см.

Ответ: 13 см. Полученная длина — сторона ромба, а не диагональ: мы нашли гипотенузу треугольника, вершины которого образуют половины диагоналей и сторону фигуры. Проверка: тройка чисел 5, 12 и 13 удовлетворяет теореме Пифагора.

Задача 3. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 4 см. Точка на одной прямой соединена с точкой на другой отрезком длиной 5 см. Найдите проекцию этого отрезка на прямую, параллельную данным. Проекция здесь — горизонтальная часть отрезка, если перпендикулярное расстояние представить вертикальным катетом. Вместе они образуют прямоугольный треугольник.

1. Отметим в треугольнике гипотенузу 5 см — соединяющий точки отрезок, а перпендикулярный катет 4 см — расстояние между прямыми. Искомая проекция является вторым катетом.
2. По теореме Пифагора: x² + 4² = 5². Тогда x² = 25 − 16 = 9, следовательно, x = 3 см, так как длина не может быть отрицательной.

Ответ: 3 см. Здесь расстояние между прямыми нельзя считать проекцией: оно направлено перпендикулярно им. Проверка по тройке 3, 4, 5 подтверждает, что гипотенуза действительно равна 5 см.

Типичные ошибки

Считать любой ромб квадратом — ошибка: равенство сторон не делает углы прямыми. Так путают два определения, потому что у обеих фигур стороны равны. Проверь себя: для квадрата нужно подтвердить ещё и прямые углы; если их нет, перед тобой может быть ромб, но не квадрат.

Считать диагонали любого прямоугольника перпендикулярными тоже неверно. У прямоугольника диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, но угол между ними обычно не равен 90°. Проверь условие задачи: перпендикулярность гарантирована у ромба и квадрата, а для прямоугольника — только при дополнительных условиях.

Диагональ не следует путать с высотой. Диагональ соединяет две противоположные вершины, а высота — это перпендикуляр от вершины к противоположной стороне или её продолжению. Ошибка возникает, когда отрезки на чертеже выглядят похожими; проверь, куда именно они проведены и отмечен ли прямой угол.

Наклонный отрезок не измеряет расстояние между параллельными прямыми. Его часто выбирают по рисунку, хотя рисунок может быть неточным; наклонный отрезок длиннее перпендикуляра, потому что является гипотенузой прямоугольного треугольника. Для проверки найди отрезок, образующий с прямыми угол 90°.

Связь с другими темами

Для изучения этих фигур нужны определения параллелограмма, его сторон, углов и диагоналей. Ещё пригодятся признаки равенства треугольников: они помогают объяснять свойства диагоналей, а не просто запоминать их. При вычислениях в задачах о диагоналях ромба используется теорема Пифагора.

Свойства прямых углов и диагоналей помогают доказывать равенство фигур и находить неизвестные элементы четырёхугольников. Расстояние между параллельными прямыми связано с высотой параллелограмма: высота как раз проводится перпендикулярно основанию. Позже это понятие понадобится при изучении площади фигур.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами.
• Ромб — параллелограмм с равными сторонами.
• Квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба.
• Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
• Диагонали ромба перпендикулярны, делятся пополам и делят его углы пополам.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряется по перпендикуляру и постоянно.