§ 21. Понятие о векторе. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало, конец и направление; его обозначают стрелкой над двумя буквами, например AB⃗. Порядок букв показывает, откуда и куда направлен вектор. Это позволяет описывать перемещение, а не только расстояние между двумя точками.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают; его длина равна нулю. Он обозначается стрелкой с одинаковыми буквами на концах, например AA⃗. Такой вектор нужен, чтобы обозначить отсутствие перемещения.

Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, даже если их начала находятся в разных точках. Поэтому одинаково направленные отрезки одной длины могут задавать один и тот же вектор. Это позволяет переносить вектор по плоскости, не меняя его.

Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Например, AB⃗ и BA⃗ противоположны: они соединяют те же точки, но направлены навстречу друг другу. Понятие помогает отличать равенство векторов от совпадения их длин.

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор. Начальное положение точки меняется, но величина и направление её смещения для всех точек общие. Так можно построить копию фигуры в другом месте плоскости.

Как это устроено

Обычный отрезок показывает расстояние между двумя точками, но сам по себе не сообщает, в какую сторону нужно двигаться. Чтобы получить вектор, задают начало и конец, а стрелку направляют от первого конца ко второму. Поэтому смена порядка букв меняет смысл записи: AB⃗ и BA⃗ имеют противоположные направления. Их длины при этом одинаковы, поскольку оба отрезка соединяют одну и ту же пару точек.

Длина вектора определяется длиной отрезка, который его изображает: если отрезок AB имеет длину 4 см, то и модуль AB⃗ равен 4 см. Модуль записывают как |AB⃗|; вертикальные черты здесь обозначают именно длину, а не направление. Такая запись полезна, когда нужно отдельно сравнить величины векторов. Направление при сравнении рассматривают отдельно от модуля.

Вектор можно перенести в другое место плоскости, если при этом сохраняются его длина и направление. Причина в том, что эти две характеристики полностью определяют вектор, а положение его начала — нет. Например, стрелка длиной 3 см, направленная вправо, остаётся равной исходной, если её нарисовать в другом месте с теми же длиной и направлением. Значит, вектор можно изображать разными отрезками.

Чтобы установить равенство векторов, сравнивают и длины, и направления. Одинаковая длина сама по себе недостаточна: одна стрелка может быть направлена вправо, а другая — влево. Также не требуется, чтобы начала векторов совпадали или чтобы они лежали на одной прямой. Сначала проверь длины, затем мысленно совмести направления; только при совпадении обоих признаков векторы равны.

При параллельном переносе каждая точка получает одно и то же смещение: от исходной точки к её образу откладывают равный заданному вектор. Если перенести две точки A и B, то их образы сместятся одинаково, поэтому расстояние между ними не изменится. Иначе говоря, отрезок AB переходит в отрезок такой же длины, направленный так же. Поскольку это верно для всех точек фигуры, её форма и размеры сохраняются.

Основные виды и характеристики векторов

Чтобы разобраться в задаче, найди в таблице нужное понятие и проверь его главное условие. Например, для равенства векторов сравни длину и направление, а для параллельного переноса — одинаковость смещения всех точек. Обозначения помогают кратко записать вывод.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор AB⃗ длиной 4 см. Постройте из точки C вектор, равный AB⃗, и укажите его длину и направление.

1. Проведите через C прямую, параллельную прямой AB. Это задаёт возможную линию для нового вектора, но пока не определяет, в какую сторону на ней нужно отложить отрезок.
2. Выберите на этой прямой направление, совпадающее с направлением от A к B. От точки C отложите в эту сторону 4 см и обозначьте конец отрезка D.
3. Запишите CD⃗. У него та же длина, что у AB⃗, и то же направление, поэтому векторы равны.

Ответ: искомый вектор — CD⃗, его длина 4 см, направление совпадает с направлением AB⃗.

Задача 2. ABCD — параллелограмм. Докажите, что AB⃗ = DC⃗ и AD⃗ = BC⃗.

1. У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны: AB = DC, AD = BC. Это даёт равенство длин каждой пары соответствующих отрезков.
2. Сравните направления. При обходе вершин A, B, C, D стороны AB и DC направлены одинаково, как и стороны AD и BC.
3. Для каждой пары совпали оба условия равенства векторов: длины и направления. Следовательно, AB⃗ = DC⃗ и AD⃗ = BC⃗.

Ответ: обе пары векторов равны, поскольку соответствующие противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Задача 3. Треугольник ABC параллельно перенесён так, что A перешла в A′. Постройте образы B и C и докажите равенство треугольников.

1. Вектор переноса — AA′⃗. Отложите из B вектор той же длины и направления; его конец обозначьте B′. Так же постройте C′, отложив из C равный вектор.
2. Полученные точки A′, B′ и C′ — образы вершин, поэтому образ исходного треугольника — A′B′C′. При переносе отрезки переходят в равные им отрезки.
3. Значит, A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA. Все три стороны нового треугольника равны соответствующим сторонам исходного, следовательно, треугольники равны.

Ответ: образы точек — B′ и C′, построенные с помощью AA′⃗; треугольники ABC и A′B′C′ равны.

Типичные ошибки

Считать векторы равными только по длине — ошибка, потому что они могут быть направлены в разные стороны. Её легко допустить, если смотреть лишь на размер отрезков на чертеже. Проверь оба признака: равны ли длины и совпадают ли направления.

Путать AB⃗ и BA⃗ — значит забыть, что порядок букв задаёт направление. Такое часто происходит, когда замечают только общие концы отрезка. Проследи стрелку от первой буквы ко второй: у этих векторов направления противоположны.

Сравнивать положение векторов вместо их длины и направления тоже неверно. Векторы могут быть нарисованы в разных местах, поэтому визуально кажется, что они не равны. Мысленно перенеси один к другому и сравни оба признака, не меняя его длину и направление.

При параллельном переносе нельзя двигать разные точки на разные расстояния или в разные стороны. Так происходит, если переносить вершины по отдельности, не сверяясь с заданным вектором. Для самопроверки сравни векторы от каждой исходной точки к её образу: они должны быть равны.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны знания об отрезках и их длинах, направлениях, параллельных прямых и параллелограмме. Эти понятия помогают строить и сравнивать направленные отрезки. Позже векторы используют в координатах, при описании перемещений, сложении векторов и изучении преобразований фигур. Параллельный перенос связан с равенством фигур: он сохраняет длины, углы и параллельность.

Что запомнить

• Вектор — направленный отрезок.
• Направление вектора задаётся порядком его концов.
• Длина вектора равна длине изображающего его отрезка.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Нулевой вектор имеет нулевую длину.
• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Параллельный перенос сохраняет длины отрезков и форму фигуры.