§ 18. Фигуры, имеющие центр симметрии. Параллелограмм

Определения и обозначения

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой каждая точка фигуры при центральной симметрии переходит в точку этой же фигуры. Центральная симметрия действует как поворот на 180° вокруг этой точки. Определение помогает проверить, сохраняется ли фигура при таком преобразовании.

Центрально-симметричные точки — точки, для которых центр симметрии является серединой соединяющего их отрезка. Значит, точки лежат на одной прямой по разные стороны от центра и находятся от него на одинаковом расстоянии. Это правило позволяет находить пары точек, переходящих друг в друга.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если вершины обозначены A, B, C, D по порядку, то AB параллельна CD, а BC параллельна AD. Определение отличает параллелограмм от произвольного четырёхугольника и служит основой для доказательства его свойств.

Диагонали параллелограмма — отрезки, соединяющие его противоположные вершины. В параллелограмме ABCD это AC и BD. Они пересекаются внутри фигуры, и изучение этой точки помогает обнаружить центр симметрии и доказывать свойства параллелограмма.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли точка центром симметрии фигуры, мысленно проведи через неё прямую от любой точки фигуры и продолжи её на другую сторону. На продолжении должна найтись точка той же фигуры на равном расстоянии от предполагаемого центра. Одной удачной пары недостаточно: соответствующая точка должна существовать для каждой точки фигуры. Поэтому точка внутри фигуры сама по себе ещё не становится центром симметрии.

У параллелограмма противоположные вершины лежат на каждой диагонали. Если диагонали пересекаются в точке O и делятся ею пополам, то OA = OC и OB = OD. При центральной симметрии с центром O точки A и C меняются местами, как и B с D. Противоположные стороны тоже переходят одна в другую, поэтому вся фигура совпадает сама с собой. Так точка пересечения диагоналей оказывается центром симметрии.

Равенство противоположных сторон можно получить, проведя диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA: у них общая сторона AC. Так как AB параллельна CD и BC параллельна AD, углы при этих параллельных прямых равны как накрест лежащие. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а соответствующие стороны AB и CD, BC и AD равны. Здесь важно использовать параллельность, которая входит в определение параллелограмма.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, его диагональ при пересечении этих сторон образует равные накрест лежащие углы. Так, для диагонали AC получаем равенство углов BAC и ACD, а также BCA и CAD. Эти пары показывают, почему углы параллелограмма при противоположных вершинах равны. Соседние углы оказываются односторонними при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180°.

Чтобы доказать деление диагоналей пополам, обозначим их пересечение через O и сравним треугольники AOB и COD. Углы AOB и COD вертикальные, значит, равны; углы ABO и CDO равны при параллельных AB и CD. Кроме того, AB = CD, поскольку это противоположные стороны параллелограмма. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому соответствующие отрезки AO и OC, BO и OD равны. Следовательно, каждая диагональ разделена точкой O на две равные части.

Определение и свойства параллелограмма

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала уточни, какое свойство требуется применить, а затем выбери его обоснование. Если в задаче даны параллельные стороны, ищи равные углы; если диагонали пересекаются, проверь, можно ли сравнить образованные треугольники. Не путай равенство половин диагоналей с равенством диагоналей целиком.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD укажите центр симметрии и пары вершин, которые переходят друг в друга при симметрии относительно него.
Решение.

1. Проведём диагонали AC и BD; обозначим их точку пересечения через O.
2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина AC и BD.
3. При симметрии относительно O концы каждого отрезка, для которого O является серединой, меняются местами.

Ответ: центр симметрии — O; вершина A переходит в C, а B — в D.

Задача 2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Если AO = 5 см, а BO = 3 см, найдите длины AC и BD.
Решение.

1. Точка O делит диагональ AC пополам, поэтому OC = AO = 5 см.
2. Значит, AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 см.
3. Точка O делит и диагональ BD пополам, поэтому OD = BO = 3 см, а BD = BO + OD = 3 + 3 = 6 см.

Ответ: AC = 10 см, BD = 6 см.

Задача 3. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников AOB и COD; найдите неизвестные стороны или углы по заданным данным.
Решение.

1. Углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма; углы ABO и CDO равны как накрест лежащие при AB параллельной CD.
3. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, их соответствующие стороны и углы равны: например, AO = CO и BO = DO.
4. Чтобы найти конкретную неизвестную длину или величину угла, подставьте данное в задаче значение и примените соответствующее равенство.

Ответ: треугольники AOB и COD равны; численные значения можно определить по дополнительным данным задачи.

Типичные ошибки

Считать центром симметрии любую точку внутри фигуры. Так ошибаются, потому что центр часто действительно находится внутри фигуры. Но нужно проверить каждую точку: для неё должна найтись точка фигуры по другую сторону центра на том же расстоянии. Проведи несколько прямых через предполагаемый центр и проверь пары точек; одного совпадения недостаточно.

Путать параллелограмм с произвольным четырёхугольником. Можно запомнить отдельные свойства и забыть, что фигуру сначала требуется проверить по определению. У параллелограмма параллельны обе пары противоположных сторон, а не только одна пара. Проверь обе пары: если условие для одной из них не выполняется, называть фигуру параллелограммом нельзя.

Полагать, что диагонали параллелограмма равны. Эту ошибку провоцирует свойство, что диагонали делятся пополам: равенство половин одной диагонали не означает равенство половин другой. Запиши отдельно AO = OC и BO = OD — из них не следует AO = BO. Для проверки сравни длины целых диагоналей, а не их части.

Утверждать, что диагонали делятся пополам, не обосновывая это. Свойство верно, но в доказательстве его нельзя использовать без основания, если оно ещё не доказано. Сравни треугольники по разные стороны точки пересечения: найди равные вертикальные и накрест лежащие углы, а также равные противоположные стороны. Из равенства треугольников получится равенство соответствующих частей диагоналей.

Связь с другими темами

Для доказательств в этом параграфе нужны свойства параллельных прямых: они помогают находить равные углы. Также пригодятся признаки равенства треугольников, позволяющие обосновывать равенство сторон и отрезков. Центральная симметрия помогает распознавать фигуры, сохраняющиеся при повороте на 180°, и исследовать их устройство. Свойства параллелограмма будут полезны при изучении его частных видов и решении задач о четырёхугольниках.

Что запомнить

• Параллелограмм — четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Точка пересечения диагоналей параллелограмма — его центр симметрии.