"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, не всегда нужно отдельно устанавливать параллельность обеих пар его сторон. Достаточно проверить одно из специальных условий: равенство противоположных сторон, равенство и параллельность одной их пары или деление диагоналей точкой пересечения пополам. Такие условия называют признаками параллелограмма. Они помогают распознавать фигуру в задачах и затем применять её свойства — например, использовать равенство противоположных сторон и диагоналей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Признак параллелограмма — условие, по которому можно установить, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Иными словами, признак позволяет перейти от известных равенств или параллельности к выводу о виде фигуры. Он нужен, когда в задаче требуется доказать, что четырёхугольник — параллелограмм.
Признак по противоположным сторонам: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом. «Попарно» означает, что равны обе пары сторон, расположенных друг напротив друга. Это условие удобно применять, если в задаче даны длины всех сторон.
Признак по одной паре сторон: если одна пара противоположных сторон четырёхугольника равна и параллельна, то он является параллелограммом. Здесь требуются одновременно два условия для одной и той же пары: равенство длин и параллельность. Такой признак полезен, когда известны данные только об одной паре сторон.
Признак по диагоналям: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. Например, если диагонали AC и BD пересекаются в O, условие записывают так: AO = OC и BO = OD. Оно помогает распознать параллелограмм по отрезкам диагоналей.
Пусть в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны: AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC: она общая для треугольников ABC и CDA. Эти треугольники равны по трём сторонам, потому что две пары их сторон равны по условию, а AC — общая сторона. Значит, соответствующие углы равны; из равенства углов при секущей следует, что AB ∥ CD и BC ∥ AD.
Если AB ∥ CD и AB = CD, проведём диагональ AC. Угол BAC равен углу ACD как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD. Стороны AB и CD равны, а AC — общая, поэтому треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства соответствующих углов получаем параллельность второй пары сторон, BC ∥ AD; значит, обе пары противоположных сторон параллельны.
Рассмотрим случай, когда диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Вертикальные углы AOB и COD равны, а две стороны этих треугольников равны по условию. Поэтому треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Так же равны треугольники AOD и COB: стороны AO и OC, OD и OB равны, а углы AOD и COB — вертикальные.
Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов, а значит, AB ∥ CD и AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм. Во всех трёх рассуждениях равенства сторон или отрезков диагоналей помогают получить равные треугольники, а те дают равенство углов и параллельность прямых. Поэтому каждый признак подтверждает параллельность обеих пар сторон, а не только сходство фигуры с параллелограммом на чертеже.
| Условие для четырёхугольника | Что следует | Основная идея доказательства |
|---|---|---|
| Противоположные стороны попарно равны | Четырёхугольник — параллелограмм | Провести диагональ и рассмотреть равные треугольники |
| Одна пара противоположных сторон равна и параллельна | Четырёхугольник — параллелограмм | Провести диагональ и применить равенство треугольников |
| Диагонали точкой пересечения делятся пополам | Четырёхугольник — параллелограмм | Рассмотреть треугольники по разные стороны от точки пересечения диагоналей |
Сначала найди в условии задачи данные о сторонах или диагоналях и сопоставь их с первым столбцом. Затем обоснуй, почему условие действительно выполнено: например, ссылайся на данное равенство или докажи его. Только после этого используй вывод из второго столбца.
В четырёхугольнике ABCD даны AB = CD и BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Здесь известны равенства обеих пар противоположных сторон, поэтому подходит первый признак. Чтобы показать, почему он работает, рассмотрим треугольники по разные стороны диагонали AC.
Ответ: ABCD — параллелограмм по признаку равенства противоположных сторон.
В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, причём AB = CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Здесь дана не вторая пара равных сторон, а сочетание параллельности и равенства одной пары противоположных сторон. Поэтому нужно выбрать признак по одной паре сторон и показать, как из данных получается параллельность оставшейся пары.
Ответ: ABCD — параллелограмм, так как AB и CD равны и параллельны.
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Данные говорят, что каждая диагональ разделена точкой O на равные части. Для доказательства сравним треугольники, расположенные напротив друг друга у точки пересечения.
Ответ: ABCD — параллелограмм по признаку деления диагоналей пополам.
Ошибка: считать, что достаточно равенства только одной пары противоположных сторон. Так делают, потому что условие похоже на признак по сторонам, но в нём требуются равенства обеих пар. Проверь, записаны ли в условии два равенства: например, AB = CD и BC = AD.
Ошибка: забывать параллельность в признаке по одной паре сторон. Равенство AB = CD само по себе не доказывает, что ABCD — параллелограмм, хотя на рисунке стороны могут казаться параллельными. Проверь, указано ли AB ∥ CD или доказано ли это отдельно.
Ошибка: путать признак со свойством параллелограмма. Если фигуру ещё не признали параллелограммом, нельзя использовать её свойства как уже доказанные. Сначала найди и обоснуй одно из условий признака, а затем переходи к свойствам.
Ошибка: считать по рисунку, что диагонали делятся пополам. Чертёж может быть неточным, поэтому видимое совпадение длин не является доказательством. Проверь, даны ли равенства отрезков или выведены ли они из других условий задачи.
Для доказательств нужны определение параллелограмма, свойства параллельных прямых и признаки равенства треугольников. В частности, равенство накрест лежащих углов помогает установить параллельность прямых, а равенство треугольников — получить нужные угловые или стороновые равенства. Признаки применяют в задачах, где нужно доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, в том числе по данным о диагоналях и сторонах. После этого можно использовать свойства параллелограмма.
Чем признак параллелограмма отличается от его свойства?
Свойство — это то, что верно для уже известного параллелограмма. Признак — условие, которое позволяет доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Сначала устанавливают признак, а затем используют свойства.
Достаточно ли равенства одной пары противоположных сторон?
Нет, одного равенства недостаточно. В признаке по противоположным сторонам должны быть равны обе пары. Для другой возможности нужно, чтобы одна пара противоположных сторон была не только равна, но и параллельна.
Почему равенства и параллельности одной пары сторон достаточно?
Проведённая диагональ образует два треугольника. Они равны по общей стороне, равным сторонам и углу между ними, который равен из-за параллельности. Равенство соответствующих углов показывает, что параллельна и вторая пара сторон.
Как доказать признак параллелограмма по диагоналям?
Обозначают точку пересечения диагоналей и используют равенство отрезков, на которые она делит каждую диагональ. Треугольники по разные стороны от точки пересечения равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства углов следует параллельность противоположных сторон.
Можно ли установить, что четырёхугольник — параллелограмм, только по рисунку?
Нет, рисунок не доказывает равенство сторон или деление диагоналей пополам. Нужны данные условия либо доказательство этих фактов. По рисунку можно лишь предположить, какое условие стоит проверить.
§ 3. Признаки параллелограмма
