§ 2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Например, параллелограмм ABCD обозначают по вершинам по порядку; его стороны — AB, BC, CD и DA. Для него AB ∥ CD и BC ∥ AD. Такое определение позволяет отличить параллелограмм от других четырёхугольников: одной параллельной пары сторон недостаточно.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, не имеющие общей вершины. В параллелограмме ABCD это пары AB и CD, а также BC и AD. Каждая такая пара не только параллельна, но и равна: AB = CD, BC = AD. Это помогает находить неизвестные длины и сопоставлять стороны при доказательствах.

Противоположные углы расположены при вершинах, не соединённых общей стороной, поэтому в ABCD это углы A и C, а также B и D. Соседние углы имеют общую сторону: например, ∠A и ∠B. Противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют 180°. Такое различие важно, чтобы верно выбирать свойство при вычислении углов.

Как это устроено

Проведём диагональ AC параллелограмма ABCD. Она разделит его на треугольники ABC и CDA, у которых AC — общая сторона. Так как AB ∥ CD, углы BAC и DCA равны как накрест лежащие; из BC ∥ AD так же следует равенство углов BCA и DAC. Значит, треугольники равны по стороне AC и двум прилежащим к ней углам.

У равных треугольников соответствующие стороны и углы равны. Сопоставляя треугольники ABC и CDA, получаем AB = CD и BC = AD: это пары противоположных сторон параллелограмма. Из равенства соответствующих углов следует, что ∠B = ∠D, а для углов A и C получаем ∠A = ∠C. Так из равенства треугольников выводятся сразу свойства сторон и противоположных углов.

Соседние углы, например ∠A и ∠B, лежат по одну сторону от секущей AB при параллельных прямых AD и BC. Такие углы называют односторонними, и их сумма равна 180°. Поэтому, если известен один угол параллелограмма, соседний можно найти вычитанием из 180°. Например, при ∠A = 68° угол B равен 112°.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOB и COD: углы при B и D равны из-за параллельности AB и CD, а углы при O — вертикальные. Кроме того, AB = CD, что уже следует из равенства треугольников, полученного при проведении диагонали. Поэтому треугольники AOB и COD равны, а соответствующие отрезки AO и OC, BO и OD равны: диагонали делятся точкой O пополам.

Верно и обратное утверждение: если диагонали четырёхугольника ABCD пересеклись в O и AO = OC, BO = OD, то ABCD — параллелограмм. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними: углы при O вертикальные. Из равенства треугольников следуют равенства накрест лежащих углов, значит, AB ∥ CD. Аналогично, сравнив треугольники AOD и COB, получим AD ∥ BC, то есть обе пары противоположных сторон параллельны.

Основные свойства и признак параллелограмма

В таблице свойства описывают уже известный параллелограмм, а признак помогает доказать, что четырёхугольник является параллелограммом. Перед решением задачи определи, что дано: стороны, углы или диагонали. Затем выбери подходящую строку и проверь, достаточно ли условий для применения свойства или признака.

Разбор задач

В параллелограмме ABCD угол A равен 68°. Найдите остальные углы. Сначала выясним, какие углы связаны равенством, а какие — суммой 180°: A и C противоположные, B и D соседние с A. Это позволяет не вычислять каждый угол отдельно, а использовать два основных свойства.

1. Противоположные углы равны, поэтому ∠C = ∠A = 68°.
2. Соседние углы в сумме дают 180°: ∠B = 180° − 68° = 112°.
3. Углы B и D противоположные, значит, ∠D = 112°. Проверка: 68° + 112° + 68° + 112° = 360°.

Ответ: ∠B = 112°, ∠C = 68°, ∠D = 112°. Проверка суммой четырёх углов подтверждает, что вычисления согласуются с тем, что перед нами четырёхугольник.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AO = 5 см. Найдите AC. Важно не принять AO за всю диагональ: точка O находится внутри AC и делит диагональ пополам. Значит, длина всей диагонали складывается из двух равных отрезков AO и OC.

1. По свойству диагоналей параллелограмма AO = OC.
2. Тогда OC = 5 см, а AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 см.

Ответ: AC = 10 см. Здесь использовано именно деление диагонали пополам, а не утверждение о равенстве диагоналей друг другу.

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Равенства показывают, что точка O делит пополам обе диагонали, а не только одну. Это условие совпадает с признаком параллелограмма по диагоналям.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные.
2. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы BAO и DCO равны, а AB ∥ CD.
3. Аналогично треугольники AOD и COB равны; из равенства соответствующих углов следует AD ∥ BC.
4. Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, значит, ABCD — параллелограмм по определению.

Ответ: ABCD — параллелограмм. В доказательстве использованы оба заданных равенства, поэтому выполнено условие признака для обеих диагоналей.

Типичные ошибки

Ошибка — объявлять четырёхугольник параллелограммом только потому, что его стороны так выглядят на чертеже. Рисунок может быть неточным: угол наклона сторон ничего не доказывает. Так ошибаются, когда воспринимают чертёж как точное измерение. Проверяй, есть ли в условии параллельность сторон, нужные равенства или доказательство этих фактов.

Не путай противоположные углы с соседними: первые равны, вторые дают в сумме 180°. Путаница часто возникает, если не отметить вершины и общие стороны. Перед вычислением назови пары: в ABCD углы A и C противоположные, A и B — соседние. Затем выбери соответствующее свойство.

Нельзя утверждать, что диагонали параллелограмма равны: они могут иметь разную длину. Это заблуждение появляется из-за смешения двух фактов — диагонали делятся пополам и диагонали равны. Проверь формулировку свойства: равны отрезки одной диагонали по разные стороны от точки пересечения, а не обязательно две диагонали целиком.

Для признака по диагоналям нужно проверить деление пополам обеих диагоналей. Если доказано только AO = OC, данных о второй диагонали недостаточно. Ошибку допускают, замечая лишь одну пару равных отрезков и сразу делая вывод о параллелограмме. Запиши оба условия: AO = OC и BO = OD; только вместе они позволяют применить признак.

Связь с другими темами

Для доказательств свойств параллелограмма нужны знания о параллельных прямых: в частности, о равенстве накрест лежащих углов и сумме односторонних углов. Также пригодятся признаки равенства треугольников. Они объясняют, почему части параллелограмма имеют равные стороны и углы, а не просто сообщают готовые результаты.

Свойства и признак параллелограмма помогают решать задачи о четырёхугольниках: по сторонам, углам или диагоналям можно доказывать, что фигура относится к этому виду. Позже эти знания пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата. Это особые виды параллелограмма, поэтому их свойства связываются с уже знакомыми правилами.

Что запомнить

• У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.