§ 6. Параллелограмм. Свойства параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Например, в параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а AD и BC тоже параллельны. Чтобы коротко описать фигуру, используют запись ABCD, перечисляя вершины по порядку. Определение помогает отличить параллелограмм от других четырёхугольников.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, у которых нет общей вершины. В ABCD это пары AB и CD, AD и BC. Стороны AB и BC, напротив, соседние: они сходятся в вершине B. Различать эти пары нужно, чтобы правильно применять свойства фигуры.

Противоположные углы параллелограмма расположены при несмежных вершинах. Для ABCD такими парами будут ∠A и ∠C, а также ∠B и ∠D. Углы при соседних вершинах называют соседними. Это различие подсказывает, какие углы равны, а какие складываются до 180°.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. В ABCD диагонали — AC и BD. Проведённая диагональ разделяет четырёхугольник на два треугольника, поэтому помогает доказывать свойства параллелограмма. Буквы диагонали указывают её концы.

Как это устроено

Проведём диагональ AC в параллелограмме ABCD. Поскольку AB параллельна CD, при секущей AC накрест лежащие углы ∠BAC и ∠DCA равны; из параллельности BC и AD так же получаем равенство ∠BCA и ∠DAC. У треугольников ABC и CDA есть общая сторона AC, поэтому они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Так параллельность сторон превращается в равенство треугольников.

Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что соответствующие стороны равны: AB = CD, а BC = AD. Именно поэтому у параллелограмма равны противоположные стороны. Мы не предполагаем это по внешнему виду фигуры: равенство получено из доказанного равенства треугольников. Проведение диагонали связывает свойства четырёхугольника с уже знакомыми признаками равенства треугольников.

Соседние углы параллелограмма находятся по одну сторону секущей между параллельными прямыми. Например, ∠A и ∠B при прямых AD и BC образуют внутренние односторонние углы, поэтому их сумма равна 180°. По той же причине сумма любой пары соседних углов равна 180°. Тогда противоположные углы тоже равны: каждый из них дополняет один и тот же соседний угол до 180°.

Пусть диагонали AC и BD пересеклись в точке O. Рассмотрим треугольники AOB и COD: углы ∠OAB и ∠OCD равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD, а ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные. Стороны AB и CD уже доказанно равны, поэтому треугольники равны; из этого следует AO = OC и BO = OD. Значит, точка пересечения делит пополам обе диагонали.

Свойства позволяют находить неизвестные части фигуры, если известны другие стороны, углы или отрезки диагоналей. Например, равенство противоположных сторон помогает найти длину второй стороны, а сумма соседних углов — величину неизвестного угла. Для доказательства равенства отрезков можно установить, что они являются соответствующими сторонами равных треугольников или равными половинами одной диагонали. Сначала выясните, какое свойство связывает данные и искомое.

Свойства параллелограмма

В таблице можно быстро найти нужное правило по объекту задачи: сторонам, углам или диагоналям. Перед применением проверьте, что фигура действительно параллелограмм. Не заменяйте свойство диагоналей утверждением об их равенстве: оно говорит только о равенстве половин каждой диагонали.

Разбор задач

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см, а сторона BC — 4 см. Найдём CD и AD. По определению параллелограмма AB и CD — противоположные стороны, как и BC и AD. Поэтому здесь нужно применить свойство равенства противоположных сторон, а не складывать или вычитать заданные длины.

1. Запишем пары противоположных сторон: AB и CD, BC и AD.
2. Используем свойство параллелограмма: AB = CD, BC = AD.
3. Подставим известные значения: CD = 7 см, AD = 4 см.

Ответ: CD = 7 см, AD = 4 см. Проверка проста: у каждой найденной стороны есть противоположная сторона такой же длины. Такой способ работает независимо от того, под каким наклоном нарисована фигура.

Один угол параллелограмма равен 68°. Найдём остальные углы. Сначала определим, какие из них соседние с данным, а какие противоположные: оба соседних дополняют его до 180°, а противоположный равен ему. Так мы используем два разных свойства, не смешивая их.

1. Вычтем известный угол из 180°: 180° − 68° = 112°.
2. Каждый из двух соседних углов равен 112°, поскольку сумма с данным углом составляет 180°.
3. Противоположный угол равен 68°.

Ответ: остальные углы равны 112°, 68° и 112°. Проверка: сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а 68° + 112° + 68° + 112° = 360°. Кроме того, углы при противоположных вершинах получились равными.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AO = 5 см и BO = 3 см. Найдём длины AC и BD. Данные отрезки — половины диагоналей, поэтому сначала нужно воспользоваться свойством деления диагоналей пополам, а затем восстановить длину каждой диагонали.

1. Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, AO = OC, значит, OC = 5 см.
2. Тогда AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 см.
3. Также BO = OD, поэтому OD = 3 см, а BD = BO + OD = 3 + 3 = 6 см.

Ответ: AC = 10 см, BD = 6 см. Обоснование — свойство диагоналей параллелограмма: O является серединой каждой из них. Обратите внимание, что полученные длины диагоналей различаются, и это не противоречит свойствам параллелограмма.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что диагонали любого параллелограмма равны. Так можно подумать, потому что диагонали пересекаются и их части попарно равны. Но это свойство означает AO = OC и BO = OD, а не AC = BD. Проверьте себя: выпишите равенства именно для половин одной диагонали и не переносите их на разные диагонали.

Ошибка: путать противоположные и соседние углы. Иногда это происходит, если ориентироваться только на расположение углов на рисунке. Противоположные углы равны, соседние дают в сумме 180°. Назовите вершины углов: A и C — противоположные, A и B — соседние.

Ошибка: приравнивать диагональ целиком к одной её части. Если O — точка пересечения, то равны AO и OC, а не AC и AO; диагональ AC состоит из двух частей. Проверка: сложите AO и OC, чтобы получить AC, и сделайте то же для BD. Так вы не потеряете одну половину.

Ошибка: применять свойства параллелограмма к любому четырёхугольнику только потому, что две противоположные стороны равны. Одного такого равенства недостаточно, чтобы установить параллельность обеих пар сторон. Сначала проверьте определение: для параллелограмма должны быть параллельны обе пары противоположных сторон. Если это не доказано, свойства фигуры использовать нельзя.

Связь с другими темами

Чтобы работать с параллелограммами, нужно знать, что такое четырёхугольник и параллельные прямые. Также понадобятся накрест лежащие и внутренние односторонние углы: они помогают вывести равенства углов при диагонали и найти сумму соседних углов. Равенство треугольников служит основой для доказательства равенства противоположных сторон и частей диагоналей. Позже эти результаты пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата, а также в задачах на доказательство.

Что запомнить

• В параллелограмме противоположные стороны параллельны.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма соседних углов равна 180°.
• Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Диагонали параллелограмма не обязательно равны.