§ 7. Признаки параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его вершины обозначают по порядку: ABCD, а саму фигуру называют параллелограммом ABCD. Определение помогает понять, какое свойство нужно подтвердить, если требуется доказать, что четырёхугольник относится к этому виду.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, не имеющие общей вершины. В ABCD это AB и CD, а также BC и AD; например, AB и BC не противоположные, потому что встречаются в точке B. Различать эти пары нужно, чтобы правильно применять признаки и не сравнивать стороны, которые не подходят к условию.

Диагонали — отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника. У ABCD это AC и BD; они пересекаются внутри выпуклого четырёхугольника. Обозначение помогает не перепутать диагонали со сторонами, когда в задаче сравнивают части отрезков или доказывают их взаимное деление пополам.

Признак параллелограмма — условие, достаточное для доказательства того, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Например, можно установить равенство обеих пар противоположных сторон и на этом закончить доказательство принадлежности к параллелограммам. Это понятие нужно отличать от свойств фигуры, которые применяют уже после такого доказательства.

Как это устроено

Если обе пары противоположных сторон параллельны, четырёхугольник совпадает с определением параллелограмма. Именно поэтому в первом признаке не требуется дополнительных рассуждений о длинах или углах: остаётся проверить, что перед нами выпуклый четырёхугольник и параллельны AB и CD, BC и AD. Условие и вывод здесь фактически выражают определение фигуры.

Если попарно равны противоположные стороны, то равенство длин само по себе ещё не означает параллельность. Проведём диагональ AC: треугольники ABC и CDA имеют равные соответствующие стороны AB = CD, BC = AD и общую сторону AC. Они равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы равны; из равенства накрест лежащих углов следует AB ∥ CD и BC ∥ AD. Значит, четырёхугольник удовлетворяет определению параллелограмма.

Для ещё одного признака достаточно одной пары противоположных сторон, если она одновременно равна и параллельна. Например, при AB = CD и AB ∥ CD можно провести диагональ BD: углы между параллельными AB и CD и секущей BD равны, а BD — общая сторона. Треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними; из равенства соответствующих углов получаем AD ∥ BC. Теперь параллельны обе пары противоположных сторон.

Если диагонали пересекаются и делятся точкой O пополам, то AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD вертикальные, то есть равны; вместе с равными сторонами это даёт равенство треугольников AOB и COD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда равны соответствующие углы, образованные диагоналями и сторонами, поэтому AB ∥ CD; аналогично из равенства других пар треугольников следует AD ∥ BC. Так выполняется определение параллелограмма.

Признаки и свойства отвечают на разные вопросы. Признак позволяет перейти от известного условия к выводу «ABCD — параллелограмм», а свойство сообщает, что верно для фигуры, уже признанной параллелограммом. Если в решении сразу написать, что противоположные стороны равны, не доказав сначала параллелограммность, получится логический круг: свойство используют как будто оно само доказывает своё основание.

Признаки параллелограмма

Выбери строку, условие которой совпадает с данными задачи, и используй её вывод только после проверки всех частей условия. Например, равенство AB = CD подходит к третьей строке лишь вместе с AB ∥ CD. Если дано деление диагоналей, должны быть равны обе пары их частей.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Даны две пары равных противоположных сторон, поэтому подходит второй признак из таблицы. Чтобы обосновать его, покажем, почему эти равенства приводят к параллельности.

1. Проведём диагональ AC. В треугольниках ABC и CDA сторона AB равна CD, BC равна AD по условию, а AC — общая.
2. Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому равны углы BAC и ACD, а также BCA и CAD.
3. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD, а затем BC и AD. Следовательно, AB ∥ CD и BC ∥ AD, значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 2. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Здесь известна только одна пара противоположных сторон, но выполнены сразу два условия: равенство и параллельность. Используем третий признак и докажем параллельность второй пары.

1. Проведём диагональ BD и рассмотрим треугольники ABD и CDB. Стороны AB и CD равны по условию, BD — общая сторона.
2. Так как AB ∥ CD, углы ABD и CDB равны как накрест лежащие при секущей BD. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников следуют равенство соответствующих углов и параллельность AD и BC. Вместе с AB ∥ CD это даёт две пары параллельных сторон.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Задача 3. Диагонали ABCD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм, а затем найдите периметр, если AB = 7 см и BC = 11 см. Сначала применим признак по делению диагоналей пополам; только после этого используем свойство противоположных сторон.

1. По AO = OC точка O — середина AC, а по BO = OD — середина BD. Следовательно, обе диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны: CD = AB = 7 см, AD = BC = 11 см.
3. Периметр — сумма длин всех четырёх сторон: P = AB + BC + CD + AD = 7 + 11 + 7 + 11 = 36 см.

Ответ: ABCD — параллелограмм; периметр равен 36 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что равенства одной пары противоположных сторон достаточно для вывода. Так думают, потому что условие похоже на известное свойство параллелограмма, но равенство длин не задаёт направление сторон. Проверь себя: есть ли равенство второй пары или параллельность той же пары; без дополнительного условия этот признак применять нельзя.

Вторая ошибка — использовать свойство параллелограмма до доказательства, что фигура является параллелограммом. Например, из равенства противоположных сторон нельзя заключить, что перед нами параллелограмм, если равенства только предполагаются как свойство, а не даны как признак. Сначала укажи условие подходящего признака и сделай вывод о типе четырёхугольника; затем используй его свойства.

Третья ошибка — путать диагонали со сторонами и сравнивать не те отрезки. Диагонали соединяют несоседние вершины, поэтому у ABCD это AC и BD, а AB и CD — стороны. Перед решением отметь, какие вершины соединяет каждый отрезок; для признака о диагоналях проверь равенства AO = OC и BO = OD.

Четвёртая ошибка — называть противоположными стороны с общей вершиной, например AB и BC. Их принимают за противоположные, потому что обе стороны одной фигуры и стоят рядом в записи, но они соседние и встречаются в точке B. Проверь, имеют ли стороны общую вершину: противоположные стороны общей вершины не имеют, поэтому в ABCD противоположны AB и CD, BC и AD.

Связь с другими темами

Для доказательств понадобятся определение параллельных прямых, свойства углов при пересечении параллельных прямых и признаки равенства треугольников. Именно равенство треугольников часто связывает заданные длины с равенством углов, а углы помогают установить параллельность сторон. После изучения признаков можно доказывать свойства параллелограмма, а также разбирать прямоугольник, ромб и квадрат — частные виды параллелограмма. В задачах на вычисление признаки сначала помогают установить вид фигуры, после чего становятся доступны её свойства.

Что запомнить

• Параллелограмм — четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон.
• Попарное равенство противоположных сторон — признак параллелограмма.
• Равенство и параллельность одной пары противоположных сторон — признак параллелограмма.
• Если диагонали делятся точкой пересечения пополам, четырёхугольник является параллелограммом.
• Признак устанавливает принадлежность фигуры к параллелограммам.
• После доказательства можно применять все свойства параллелограмма.