"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Параллелограмм строят по заданным сторонам, углам или диагоналям, используя линейку и циркуль. Сначала выясняют, какие свойства фигуры связывают известные элементы с неизвестными вершинами, затем выполняют построение и доказывают его правильность. Часто четвёртую вершину находят с помощью параллельных прямых, а при работе с диагоналями используют то, что они делятся точкой пересечения пополам. Важно также проверить, существует ли решение и сколько вариантов возможно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Задача на построение — задача, в которой фигуру требуется построить с помощью заданных инструментов, обычно линейки и циркуля. Линейкой проводят прямые, а циркулем откладывают отрезки заданной длины. Такое определение помогает отличить точное геометрическое построение от рисунка от руки.
Построение параллелограмма — последовательность геометрических действий, позволяющая получить параллелограмм по заданным элементам. Элементами могут быть стороны, угол, диагонали или их сочетания. Термин нужен, чтобы описать не просто готовую фигуру, а порядок действий, который приводит к ней.
Анализ построения — выяснение того, как связаны искомая фигура и данные элементы и какие построения приведут к решению. Например, по сторонам и диагонали можно сначала получить треугольник. Анализ нужен, чтобы не выполнять действия наугад и заранее понять, какие вершины следует построить.
Доказательство построения — обоснование того, что построенная фигура действительно является параллелограммом и удовлетворяет условию. Для этого проверяют параллельность сторон и соответствие заданным длинам и углам. Без доказательства чертёж показывает лишь предполагаемый результат, но не подтверждает его правильность.
Построение начинают с анализа, потому что одних названий заданных элементов недостаточно, чтобы сразу определить порядок действий. Нужно установить, какие вершины они задают и какие свойства параллелограмма помогут найти остальные. Например, если известны две стороны и диагональ, эти три отрезка образуют треугольник. Если известны диагонали, ключевым становится их общее свойство — точка пересечения является серединой каждой из них.
По двум соседним сторонам и углу между ними сначала строят сам угол. На его лучах откладывают отрезки, равные заданным сторонам, поэтому полученные точки становятся соседними с вершиной угла вершинами параллелограмма. Через каждую из них проводят прямую, параллельную другой стороне угла. Это не случайный приём: противоположные стороны параллелограмма должны быть параллельны, а пересечение проведённых прямых задаёт четвёртую вершину.
Построение по двум сторонам и диагонали удобно свести к треугольнику, у которого известны все три стороны. Сначала строят такой треугольник, используя циркуль для отложения длин. Затем через его вершины проводят прямые, параллельные соответствующим сторонам, и находят четвёртую вершину. Этот способ работает потому, что диагональ вместе с двумя сторонами параллелограмма образует треугольник, а параллельные прямые восстанавливают вторую пару сторон.
Если заданы диагонали и угол между ними, их точка пересечения становится вершиной построенного угла. От неё на каждой прямой откладывают в обе стороны половину длины соответствующей диагонали. Так получают концы обеих диагоналей, после чего соседние концы соединяют. Половины нужны потому, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам; если отложить целую длину, условие нарушится.
После построения нужны и доказательство, и исследование, поскольку они отвечают на разные вопросы. Доказательство подтверждает, что фигура обладает нужными свойствами и её элементы совпадают с заданными. Исследование выясняет, можно ли выполнить построение при данных величинах и сколько разных фигур получится. Например, если по трём отрезкам нельзя построить треугольник, построение параллелограмма этим способом невозможно.
Таблица помогает выбрать начальный шаг: сопоставьте условие задачи с указанными данными и используйте подходящую основную идею. Последний столбец подсказывает, что именно потребуется доказать после построения. Если данные не позволяют построить нужный треугольник или угол, решение нужно проверить до выполнения остальных действий.
| Данные | Основная идея построения | Что обосновать |
|---|---|---|
| Две соседние стороны и угол между ними | Построить угол, отложить на его сторонах длины сторон и провести параллельные прямые | Противоположные стороны параллельны, соседние стороны имеют заданные длины |
| Три стороны, включая диагональ | Сначала построить треугольник по трём сторонам, затем достроить параллелограмм параллельными прямыми | Полученная четвёртая вершина даёт противоположные стороны, параллельные соответствующим сторонам треугольника |
| Диагонали и угол между ними | Построить угол, отложить на его сторонах половины длин диагоналей и соединить концы отрезков | Диагонали построенного четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам |
Условие. Построить параллелограмм по двум соседним сторонам длиной 4 см и 6 см и углу между ними 60°. Начать стоит с угла: его вершина станет общей вершиной заданных сторон. Так сразу будут заданы и величины сторон, и угол между ними.
Доказательство и ответ. В четырёхугольнике OACB стороны OA и CB параллельны, как и стороны OB и AC, поскольку параллельные прямые построены по условию. Значит, это параллелограмм; его соседние стороны равны 4 см и 6 см, а угол между ними равен 60°. Ответ: построенный параллелограмм OACB.
Условие. Построить параллелограмм со сторонами 5 см и 7 см, если его диагональ равна 8 см. Две стороны и диагональ образуют треугольник, поэтому сначала нужно выяснить, можно ли построить такой треугольник. Здесь наибольшая длина 8 см меньше суммы двух других: 5 см + 7 см = 12 см.
Доказательство и ответ. По построению AB = 5 см, AC = 7 см, BC = 8 см, а пары противоположных сторон четырёхугольника ABDC параллельны. Следовательно, ABDC — параллелограмм со сторонами 5 см и 7 см и диагональю AC длиной 7 см? Нет: в построенном треугольнике AC задана как 7 см, а BC — 8 см, поэтому диагональю следует взять BC и достроить фигуру иначе. Ответ требует аккуратного выбора: треугольник должен иметь две стороны параллелограмма 5 см и 7 см, а третью — диагональ 8 см; полученный треугольник достраивают так, чтобы его сторона 8 см стала диагональю.
Условие. Построить параллелограмм, диагонали которого равны 6 см и 10 см, а угол между ними равен 70°. Сначала строим пересекающиеся прямые, поскольку именно их угол задан. Затем используем половины длин диагоналей, чтобы от точки пересечения получить все четыре вершины.
Доказательство и ответ. Отрезки AC и BD являются диагоналями четырёхугольника, они пересекаются в O и делятся этой точкой пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, четырёхугольник является параллелограммом. Ответ: построенный параллелограмм с диагоналями 6 см и 10 см и углом между ними 70°.
Можно провести прямые через нужные вершины, но перепутать, какие стороны должны быть параллельны. Тогда вместо параллелограмма получится другая фигура, хотя чертёж может выглядеть убедительно. Ошибку допускают, когда не обозначают вершины и проводят линии только «на глаз». Проверка проста: назовите четырёхугольник по порядку и убедитесь, что параллельны обе пары противоположных сторон.
При построении по диагоналям иногда откладывают их полные длины от точки пересечения. Это происходит, если забыть, что точка пересечения делит каждую диагональ на две равные части. В результате диагонали получаются вдвое длиннее заданных. Перед построением разделите каждую длину пополам и проверьте, что отрезки по обе стороны от точки пересечения равны.
Ещё одна ошибка — считать, что любые три заданные длины позволяют построить треугольник. Но если сумма двух меньших отрезков не превосходит третий, окружности для построения не дадут нужного пересечения. Так происходит потому, что стороны треугольника должны соединиться в замкнутую фигуру. До построения проверьте неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.
Наконец, нельзя ограничиваться аккуратным чертежом и считать его доказательством. Рисунок может быть неточным, поэтому по нему нельзя надёжно установить параллельность или равенство отрезков. Нужно указать, какие свойства следуют из выполненных построений и почему фигура подходит под условие. Самопроверка: обоснованы ли обе пары параллельных сторон и все заданные длины и углы?
Для построения понадобятся определение параллелограмма и свойства его противоположных сторон и диагоналей. Без них нельзя понять, какие связи между вершинами нужно получить, чтобы фигура стала параллелограммом. Особенно полезно помнить, что диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Также нужны навыки построения отрезков и углов циркулем и линейкой, а ещё умение проводить параллельные прямые. Эти действия составляют практическую основу решения: сначала строят известные элементы, затем находят недостающие вершины. Точность построения помогает не перепутать длины и расположение точек.
Те же методы применяются в задачах на построение других четырёхугольников и при доказательстве свойств геометрических фигур. Умение разложить сложную фигуру на знакомые элементы помогает выбирать порядок действий и проверять результат. Поэтому важно не только уметь строить, но и объяснять, почему построение верно.
С каких действий начинать задачу на построение параллелограмма?
Сначала выпишите заданные элементы и вспомните свойства параллелограмма, которые помогут найти вершины. Затем составьте план построения: например, сведите задачу к построению треугольника или определению середины диагонали.
Как построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними?
Постройте заданный угол и отложите на его сторонах длины двух соседних сторон. Через концы этих отрезков проведите прямые, параллельные противоположным сторонам угла. Их пересечение даст четвёртую вершину.
Как использовать диагонали при построении параллелограмма?
Точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам. Поэтому от вершины заданного угла откладывают в обе стороны половины длин диагоналей, а затем соединяют четыре полученные вершины по порядку.
Почему при построении по трём сторонам нужно проверить неравенство треугольника?
Построение параллелограмма по двум сторонам и диагонали сначала сводят к построению треугольника. Треугольник существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей; если это условие нарушено, построить его нельзя.
Как доказать, что полученная фигура является параллелограммом?
Проверьте, что у четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны. Затем сверьте длины и углы с условием задачи. Для построения по диагоналям также обоснуйте, что диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
§ 8. Построение параллелограмма
