"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все четыре угла прямые. Его свойства помогают находить стороны и диагонали, а также доказывать, что параллелограмм является прямоугольником. Противоположные стороны прямоугольника равны, диагонали тоже равны и делятся точкой пересечения пополам. Если известны две соседние стороны, диагональ можно найти по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны 90°. Его вершины обычно называют по порядку буквами: например, ABCD. Значит, у прямоугольника ABCD углы A, B, C и D прямые, а противоположные стороны параллельны. Определение помогает отличить прямоугольник от других четырёхугольников.
Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними: например, AB и BC. Стороны, лежащие напротив друг друга и не имеющие общей вершины, называются противоположными: это AB и CD, а также BC и AD. Такое различие нужно, чтобы правильно применять свойства фигуры: равны и параллельны именно противоположные стороны.
Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. В прямоугольнике ABCD диагонали — AC и BD: каждая проходит через фигуру между противоположными вершинами. Соседние стороны и диагональ образуют треугольник, который удобно использовать для вычислений. Поэтому важно не перепутать диагональ со стороной.
У прямоугольника противоположные углы равны, потому что каждый из них равен 90°. Сумма соседних углов тоже равна 180°, как и требуется для параллелограмма. Поэтому пары противоположных сторон параллельны, и прямоугольник действительно является параллелограммом. Это позволяет применять к нему свойства всех параллелограммов.
Чтобы сравнить диагонали AC и BD, рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них общая сторона AB, стороны BC и AD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы B и A равны 90°. Значит, прямоугольные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Их соответствующие гипотенузы AC и BD равны, поэтому диагонали прямоугольника равны.
Верно и обратное утверждение для параллелограмма: если его диагонали равны, то он прямоугольник. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O. В параллелограмме они делятся пополам, поэтому AO = BO, а если AC = BD, то их половины тоже равны. В треугольнике AOB равные стороны AO и BO дают равные углы при основании; вместе с тем соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°. Отсюда каждый угол равен 90°, значит, параллелограмм прямоугольный.
Прямоугольник сохраняет свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны. Диагонали пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них пополам. Равенство диагоналей — отдельное свойство: из него следует AC = BD, но оно не заменяет равенство половин AO = OC и BO = OD. Разделяя эти факты, легче выбрать нужное свойство для решения.
Соседние стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому вместе с диагональю образуют прямоугольный треугольник. Если стороны равны a и b, а диагональ — d, то по теореме Пифагора d² = a² + b². Отсюда d = √(a² + b²); если неизвестна сторона, например a, то a = √(d² − b²). Перед вычислением проверьте, что известные длины относятся к сторонам одного такого треугольника.
| Что рассматриваем | Свойство прямоугольника | Как применить в задаче |
|---|---|---|
| Углы | Все четыре угла равны 90°. | Найти неизвестные углы или установить, что фигура прямоугольная. |
| Противоположные стороны | Они параллельны и равны. | По известной стороне определить противоположную или использовать параллельность. |
| Диагонали | Они равны и точкой пересечения делятся пополам. | Найти диагональ или её половину, если известны другие отрезки. |
| Обратный признак прямоугольника | Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. | Сначала проверить, что фигура является параллелограммом, затем сравнить диагонали. |
В таблице отделены свойства самой фигуры от условия, по которому можно её распознать. Сначала выясните, что дано: прямоугольник или параллелограмм, который нужно проверить. Затем применяйте только подходящую строку и записывайте вывод с опорой на неё.
Задача 1. В прямоугольнике ABCD угол A равен 90°. Найдите углы B, C и D. Нужно вспомнить, что прямоугольный угол задан не только при A: по определению прямоугольника прямыми должны быть все его углы.
Ответ: ∠B = 90°, ∠C = 90°, ∠D = 90°.
Задача 2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Если AC = 12 см, найдите BD, AO и BO. Здесь нужны два разных свойства: диагонали прямоугольника равны, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Ответ: BD = 12 см, AO = 6 см, BO = 6 см. Не следует выводить равенство диагоналей из того, что они делятся пополам: для этих шагов использованы два отдельных свойства.
Задача 3. Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Найдите диагональ и определите, будет ли четырёхугольник с такими сторонами и диагональю 10 см прямоугольником, если он является параллелограммом. Сначала вычислим диагональ исходного прямоугольника, затем проверим условие признака для параллелограмма.
Ответ: диагональ прямоугольника равна 10 см; параллелограмм с указанными сторонами и диагональю 10 см является прямоугольником.
Ошибка — считать прямоугольником любой четырёхугольник с одним прямым углом. Так думают, потому что замечают заданный угол и не проверяют остальные. По определению у прямоугольника прямые все четыре угла. Проверьте, что вывод относится ко всей фигуре, а не только к одному её углу.
Не путайте равенство диагоналей и деление их пополам. Эти свойства часто запоминают вместе, потому что оба относятся к диагоналям прямоугольника, но одно говорит о длине двух диагоналей, а другое — о частях каждой диагонали. Для прямоугольника верны и AC = BD, и AO = OC, BO = OD. В решении укажите отдельно, какое равенство используете.
Нельзя применять обратный признак равенства диагоналей к любому четырёхугольнику. Условие признака включает важное уточнение: фигура должна быть параллелограммом. Если забыть его, вывод может оказаться необоснованным. Перед сравнением диагоналей проверьте по условию или докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.
При поиске диагонали нельзя просто складывать длины сторон. Складывать их хочется, потому что диагональ тоже соединяет вершины, но она не проходит вдоль двух сторон. Соседние стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник, поэтому нужна теорема Пифагора: d² = a² + b². Проверка: для сторон 6 и 8 диагональ равна √100 = 10, а не 14.
Для изучения прямоугольника нужно знать определение параллелограмма, его свойства и признак: многие выводы о сторонах и диагоналях получаются именно из них. Для вычислений понадобятся теорема Пифагора и свойства прямоугольных треугольников. Позже свойства прямоугольника пригодятся при изучении квадрата и площадей фигур. Они также помогают решать задачи на диагонали и расстояния.
Почему прямоугольник считается параллелограммом?
У прямоугольника противоположные стороны параллельны, а это главное свойство параллелограмма. Поэтому прямоугольник — особый вид параллелограмма, у которого дополнительно все углы прямые.
Обязательно ли у прямоугольника все углы прямые?
Да. По определению у прямоугольника каждый из четырёх углов равен 90°. Одного прямого угла недостаточно, чтобы назвать произвольный четырёхугольник прямоугольником.
Всегда ли диагонали прямоугольника равны?
Да, диагонали любого прямоугольника равны. Кроме того, как у всякого параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Как найти диагональ прямоугольника по его сторонам?
Соседние стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник. Если стороны равны a и b, то по теореме Пифагора диагональ d = √(a² + b²).
Достаточно ли равенства диагоналей, чтобы доказать, что четырёхугольник — прямоугольник?
Нет, для произвольного четырёхугольника равенства диагоналей недостаточно. Признак работает для параллелограмма: если его диагонали равны, то он является прямоугольником.
§ 9. Прямоугольник
