2.4. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Достаточно задать один прямой угол: у параллелограмма соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому остальные углы тоже будут прямыми. Такое определение позволяет отличить прямоугольник от произвольного четырёхугольника и использовать свойства параллелограмма.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. У прямоугольника ABCD две диагонали: AC и BD. Они делят прямоугольник на треугольники и помогают связывать стороны фигуры с помощью теоремы Пифагора.

Свойство равенства диагоналей: диагонали прямоугольника равны, то есть AC = BD. Это свойство дополняет общее свойство диагоналей параллелограмма: у любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Равенство диагоналей пригодится и при вычислениях, и при доказательстве того, что параллелограмм является прямоугольником.

Как это устроено

Почему прямого угла у параллелограмма достаточно? В параллелограмме каждая пара соседних углов является односторонними углами при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180°. Если один угол равен 90°, соседний равен 180° − 90° = 90°. Противоположные углы равны своим парам, значит, все четыре угла прямые. Именно поэтому в определении можно сказать, что прямой только один угол.

Противоположные стороны прямоугольника равны, потому что прямоугольник по определению является параллелограммом. У параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, в прямоугольнике AB = CD и BC = AD. Это не означает, что равны все четыре стороны: для этого нужно дополнительное условие, как у квадрата. Стороны и углы прямоугольника можно обозначать буквами, чтобы затем подставлять длины в формулы и сравнивать фигуры.

Чтобы обосновать равенство диагоналей, рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BAD. У них сторона AB общая, а стороны BC и AD равны как противоположные стороны параллелограмма. Углы между этими сторонами прямые, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответствующие стороны равны, следовательно, AC = BD. Так доказывается дополнительное свойство прямоугольника.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника делит каждую диагональ пополам, потому что прямоугольник — параллелограмм, а это общее свойство параллелограммов. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то AO = OC и BO = OD. Не следует смешивать это свойство с равенством диагоналей: деление пополам верно для любого параллелограмма, а равенство диагоналей — специальное свойство прямоугольника. Например, диагонали обычного параллелограмма могут иметь разные длины.

Равенство диагоналей позволяет распознать прямоугольник. Пусть ABCD — параллелограмм и его диагонали AC и BD равны; рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них равны диагонали AC и BD, сторона AB общая, а BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, поэтому треугольники равны по трём сторонам. Значит, соответствующие углы при вершине A равны; вместе они образуют угол параллелограмма, поэтому его величина равна 90°. Это признак прямоугольника: он позволяет доказать, что фигура является прямоугольником, тогда как определение задаёт саму фигуру.

Определение и свойства прямоугольника

Пользуйся таблицей, чтобы определить, какие факты подходят к любой задаче о параллелограмме, а какие требуют именно прямоугольника. При доказательстве сначала проверь, что фигура — параллелограмм, и только потом применяй признак прямоугольника. Для вычислений отдельно отмечай равенство противоположных сторон и равенство диагоналей.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме один из углов равен 90°. Докажите, что этот параллелограмм — прямоугольник.

1. Обозначим данный угол как угол A. Тогда ∠A = 90°.
2. Соседний с ним угол B в параллелограмме дополняет угол A до 180°. Поэтому ∠B = 180° − 90° = 90°.
3. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, ∠C = ∠A = 90° и ∠D = ∠B = 90°.
4. Получили, что все углы фигуры прямые. По определению такой параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: параллелограмм является прямоугольником.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона — 6 см. Найдите вторую сторону и диагональ.

1. Пусть неизвестная сторона равна b. Периметр P = 2(a + b), поэтому 34 = 2(6 + b).
2. Разделим обе части равенства на 2: 17 = 6 + b. Значит, b = 11 см.
3. Диагональ образует с двумя сторонами прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора d² = 6² + 11² = 36 + 121 = 157.
4. Длина диагонали положительна, поэтому d = √157 см, примерно 12,5 см.

Ответ: вторая сторона равна 11 см, диагональ — √157 см (примерно 12,5 см).

Задача 3. Диагонали параллелограмма равны. Докажите, что этот параллелограмм является прямоугольником.

1. Обозначим параллелограмм ABCD, а его равные диагонали — AC и BD. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.
2. В них AC = BD по условию, AB — общая сторона, а BC = AD, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны.
3. Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы CAB и ABD равны.
4. Эти углы вместе составляют угол A параллелограмма: лучи AB и AD лежат по разные стороны от диагонали AC, и равенство углов показывает, что угол между соседними сторонами прямой. Следовательно, параллелограмм имеет прямой угол и является прямоугольником.

Ответ: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что у прямоугольника равны все четыре стороны. Часто это возникает из-за того, что квадрат тоже имеет прямые углы, но у него есть дополнительное свойство: равны все стороны. Проверяй, что именно дано или требуется: у обычного прямоугольника равны только противоположные стороны.

Неверно утверждать, что диагонали любого параллелограмма равны. Это свойство есть у прямоугольника, а диагонали произвольного параллелограмма лишь делятся пополам точкой пересечения. Чтобы проверить себя, раздели свойства на общие для параллелограмма и дополнительные для прямоугольника.

Равенство диагоналей не означает, что они перпендикулярны. Эти понятия описывают разные отношения: равенство сравнивает длины, а перпендикулярность — угол между отрезками. У прямоугольника диагонали обычно не пересекаются под прямым углом; не делай такого вывода без отдельного обоснования.

Нельзя заключать, что любой четырёхугольник с одним прямым углом — прямоугольник. Такой вывод работает, если фигура уже является параллелограммом, поскольку её углы связаны свойствами параллельных сторон. Перед применением свойства проверь условие о параллелограмме: без него остальные углы могут быть не прямыми.

Связь с другими темами

Чтобы изучать прямоугольник, нужно знать определение параллелограмма и свойства его углов, сторон и диагоналей. При решении задач свойства прямоугольника связываются с формулой периметра и теоремой Пифагора: диагональ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Квадрат является частным видом прямоугольника, а признаки прямоугольника помогают распознавать его через свойства параллелограмма.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом.
• Все четыре угла прямоугольника равны 90°.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
• Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.