2.3. Признаки параллелограмма

Определения и обозначения

Признак параллелограмма — это условие, по которому можно установить, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Иными словами, признак помогает начать с известных данных и прийти к выводу о параллельности противоположных сторон. Он нужен, когда по условию задачи ещё не доказано, что фигура — параллелограмм. Поэтому сначала проверяют условие признака, а не используют свойства готового параллелограмма.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом. Для четырёхугольника ABCD это означает AB = CD и BC = AD. Речь идёт о равенстве обеих пар противоположных сторон, а не только одной пары. Такой признак удобен, если в задаче известны длины всех сторон.

Если одна пара противоположных сторон четырёхугольника равна и параллельна, то четырёхугольник является параллелограммом. Например, достаточно установить AB = CD и AB ∥ CD. Здесь нужны сразу два условия: равенство длин и параллельность именно этой пары. Признак полезен, когда в задаче одновременно даны или доказываются эти два факта.

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. Например, если диагонали AC и BD пересекаются в O, условие записывается так: AO = OC и BO = OD. Значит, O — середина каждой диагонали, а не просто точка их пересечения. Этот признак выбирают, когда в условии даны отрезки диагоналей.

Как это устроено

Признак отличается от свойства направлением рассуждения. Свойство начинается с уже известной фигуры: если ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны равны, а диагонали делятся пополам. Признак работает наоборот: дано равенство сторон или частей диагоналей, и нужно установить, что фигура — параллелограмм. Чтобы сделать такой вывод, каждый раз доказывают параллельность обеих пар противоположных сторон.

Для признака по попарному равенству противоположных сторон проводят диагональ AC. Получаются треугольники ABC и CDA: AB = CD, BC = DA по условию, а AC — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам. Из равенства треугольников следуют равенства накрест лежащих углов при прямых AB и CD, а также BC и AD; поэтому AB ∥ CD и BC ∥ AD. Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Во втором признаке пусть AB ∥ CD и AB = CD. Проведём диагональ AC: углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. Сторона AC общая, а AB = CD, поэтому треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников получаем равенство накрест лежащих углов при прямых BC и AD, значит, BC ∥ AD. Теперь параллельны обе пары противоположных сторон, и четырёхугольник является параллелограммом.

Для признака по диагоналям обозначим их точку пересечения O и возьмём AO = OC, BO = OD. У треугольников AOB и COD две пары соответствующих сторон равны, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие углы при сторонах AB и CD равны и эти стороны параллельны. Аналогично сравнивают треугольники AOD и COB и получают AD ∥ BC; значит, ABCD — параллелограмм.

При решении задачи сначала выдели, что именно известно о четырёхугольнике: о длинах сторон, параллельности или диагоналях. Затем сравни данные с формулировками трёх признаков и выбери тот, чьё условие уже выполнено или проще всего доказать. В конце запиши вывод: четырёхугольник — параллелограмм, а его вторая пара противоположных сторон также параллельна. Если условие совпадает не полностью, одного признака применить нельзя.

Признаки параллелограмма

Пользуйся таблицей как проверкой: найди в условии задачи сведения о сторонах или диагоналях. Убедись, что выполнены все условия одной строки, и только после этого запиши вывод. Если не хватает хотя бы одного условия, нужно доказать его отдельно или выбрать другой признак.

Разбор задач

1. Попарно равные противоположные стороны

В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD равны. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Данные сразу указывают на признак попарного равенства противоположных сторон: важно только проверить, что сравниваются именно две пары сторон напротив друг друга. Дополнительное построение для применения признака не требуется.

1. Запишем условие: AB = CD и BC = AD.
2. Сопоставим эти равенства с признаком: обе пары противоположных сторон четырёхугольника попарно равны.
3. По признаку ABCD является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

2. Равная и параллельная пара сторон

В четырёхугольнике KLMN стороны KL и MN равны и параллельны. Докажите, что KLMN — параллелограмм. Здесь выполнено условие не первого, а второго признака: равны и параллельны две противоположные стороны. Стороны KL и MN действительно противоположные, поэтому можно применить этот признак напрямую.

1. Запишем данные: KL = MN и KL ∥ MN.
2. Проверим, что KL и MN — противоположные стороны четырёхугольника KLMN.
3. По признаку равенства и параллельности одной пары противоположных сторон KLMN — параллелограмм.

Ответ: KLMN — параллелограмм.

3. Диагонали делятся пополам

Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Равенства показывают, что O — середина обеих диагоналей: AC и BD. Значит, проверяется не просто факт пересечения диагоналей, а точное условие третьего признака.

1. Из AO = OC следует, что O — середина AC; из BO = OD — что O — середина BD.
2. Следовательно, диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам.
3. По признаку по диагоналям четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.

Типичные ошибки

• Ссылаться на свойства параллелограмма, чтобы доказать, что фигура — параллелограмм, — логическая ошибка. Например, из равенства диагоналей нельзя делать вывод о параллельности сторон, если статус фигуры ещё не установлен. Так ошибаются, принимая следствие за условие доказательства. Проверь себя: каждый используемый факт должен быть уже дан или доказан независимо от искомого вывода.

• Считать достаточным равенство одной пары противоположных сторон — значит пропустить обязательную часть второго признака. Стороны могут быть равны, но не параллельны, и тогда признак неприменим. Вероятно, путают его с условием попарного равенства обеих пар. Сверь условие с формулировкой: равная пара должна быть ещё и параллельной.

• Путать попарное равенство противоположных сторон с равенством двух соседних сторон нельзя: это разные пары и разные условия. Соседние стороны имеют общую вершину, а противоположные расположены напротив друг друга. Ошибка возникает, если сравнивают только буквы, не прослеживая контур четырёхугольника. Для ABCD противоположные пары — AB и CD, BC и AD.

• Полагать, что для признака по диагоналям достаточно их пересечения, — недостаточно. У любого выпуклого четырёхугольника диагонали пересекаются, но из одного этого факта не следует, что они делятся пополам. Проверь, есть ли равенства отрезков от точки пересечения до концов каждой диагонали. Нужны оба равенства, например AO = OC и BO = OD.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужны определение параллелограмма, свойства параллельных прямых, равенство треугольников, вертикальные и накрест лежащие углы. Эти знания объясняют, почему из равенства сторон или отрезков диагоналей удаётся получить параллельность противоположных сторон. Позже признаки помогут доказывать, что четырёхугольник является прямоугольником, ромбом или квадратом, и решать задачи о его сторонах и диагоналях. Сначала доказывают, что фигура — параллелограмм, а затем используют дополнительные условия для распознавания более частного вида.

Что запомнить

• Признак позволяет установить, что четырёхугольник является параллелограммом.
• Попарное равенство противоположных сторон — признак параллелограмма.
• Равная и параллельная пара противоположных сторон — признак параллелограмма.
• Если диагонали делятся точкой пересечения пополам, четырёхугольник — параллелограмм.
• В доказательстве сначала указывают условие признака, затем делают вывод.