2.2. Параллелограмм и его свойства

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обозначим его ABCD: стороны AB и CD параллельны, а BC и AD тоже параллельны. Это определение позволяет проверить, является ли четырёхугольник параллелограммом: должны выполняться оба условия параллельности.

Противоположные стороны — пары сторон, не имеющих общей вершины. В параллелограмме ABCD это AB и CD, а также BC и AD; стороны AB и BC не противоположные, потому что имеют общую вершину B. Такое различение нужно, чтобы правильно применять свойства фигуры к нужным парам сторон.

Противоположные углы — углы при противоположных вершинах. В ABCD это пары ∠A и ∠C, ∠B и ∠D; углы ∠A и ∠B соседние, поскольку их вершины соединены стороной AB. Это помогает не путать равные углы с теми, сумма которых составляет 180°.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. У ABCD две диагонали: AC и BD, они пересекаются внутри фигуры. Диагонали делят четырёхугольник на треугольники, сравнение которых помогает обосновать свойства параллелограмма.

Как это устроено

Проведём диагональ AC в параллелограмме ABCD. Получатся треугольники ABC и CDA: сторона AC у них общая, а углы BAC и ACD равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD. Так же равны углы BCA и CAD при параллельных BC и AD, поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство их соответствующих сторон. Сторона AB соответствует CD, а BC соответствует AD, значит, AB = CD и BC = AD. Именно поэтому для нахождения неизвестной стороны достаточно знать длину противоположной ей стороны.

У равных треугольников равны и соответствующие углы. Угол ABC равен углу CDA, то есть углы B и D параллелограмма равны; аналогично равны углы A и C. Равенство связано с тем, что после проведения диагонали вершины этих углов оказываются в равных треугольниках на соответствующих местах.

Соседние углы, например ∠A и ∠B, лежат по одну сторону от прямой AB между параллельными прямыми AD и BC. Такие углы называются односторонними, а их сумма равна 180°. Поэтому, зная один угол параллелограмма, можно найти соседний вычитанием из 180°, а противоположный — он равен исходному.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COD равны: углы при вершинах A и C равны как накрест лежащие, углы при B и D тоже равны, а стороны AB и CD равны. Поэтому AO = OC и BO = OD: точка O делит пополам обе диагонали, а не только одну.

Свойства параллелограмма

Пользуйся таблицей, сначала определив, какие именно элементы даны и какие нужно найти. Для сторон и противоположных углов выбирай равенство, для соседних углов — сумму 180°. Если в задаче участвуют диагонали, обозначь точку пересечения и запиши равенство частей каждой диагонали.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме одна сторона равна 7 см, а соседняя — 4 см. Найдите длины остальных сторон. Нужно установить, какие стороны противоположны данным, а затем использовать равенство противоположных сторон.

1. Обозначим стороны по кругу: AB = 7 см, BC = 4 см. Сторона CD противоположна AB, поэтому CD = 7 см.
2. Сторона AD противоположна BC, следовательно, AD = 4 см. Проверяем: у параллелограмма получились две пары равных противоположных сторон.

Ответ: остальные стороны равны 7 см и 4 см. Соседние стороны при этом не приравнивают друг к другу: равенство относится только к противоположным сторонам.

Задача 2. Один угол параллелограмма равен 68°. Найдите три остальных угла. Сначала найдём противоположный угол, а затем два соседних, для которых сумма с известным углом равна 180°.

1. Противоположный угол равен 68°, поскольку противоположные углы параллелограмма равны. Значит, известны два равных угла.
2. Каждый из двух соседних углов равен 180° − 68° = 112°. Они тоже равны между собой, так как каждый соседствует с углом 68°.

Ответ: 68°, 112° и 112°. Проверка: сумма всех четырёх углов равна 68° + 112° + 68° + 112° = 360°, как и должно быть у четырёхугольника.

Задача 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Если AO = 5 см, BO = 3 см, найдите AC и BD. Ищем целые диагонали, поэтому нужно учесть, что O делит пополам каждую из них.

1. Для диагонали AC её половины равны: AO = OC = 5 см. Поэтому AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 см.
2. Для диагонали BD имеем BO = OD = 3 см. Следовательно, BD = BO + OD = 3 + 3 = 6 см.

Ответ: AC = 10 см, BD = 6 см. Длины диагоналей не обязаны совпадать: здесь они различны, но каждая разделена точкой O на две равные части.

Типичные ошибки

Считать параллельной только одну пару противоположных сторон — значит не проверить определение целиком. Так ошибаются, когда принимают любое подобие с трапецией за достаточный признак. Проверь себя: вторая пара тоже должна быть параллельна.

Приравнивать соседние углы вместо противоположных — ошибка в выборе пары. Её часто допускают, потому что соседние углы расположены рядом и выглядят одинаково на схеме. Проверь обозначения: противоположные углы стоят при противоположных вершинах, а соседние в сумме дают 180°.

Считать, что диагонали параллелограмма всегда равны, неверно. Это свойство может показаться правдоподобным по чертежу, но рисунок не гарантирует равенства длин. Проверяй формулировку свойства: диагонали делятся пополам, а их длины могут отличаться.

Утверждать, что точка пересечения делит пополам только одну диагональ, — значит применить свойство не полностью. Такая ошибка возникает, если рассмотреть лишь один отрезок или одну пару треугольников. Запиши отдельно равенства AO = OC и BO = OD: они относятся к обеим диагоналям.

Связь с другими темами

Для доказательств свойств параллелограмма нужны определение параллельных прямых и свойства накрест лежащих и односторонних углов. Также важно уметь распознавать равные треугольники и находить их соответствующие стороны и углы. Позже эти знания помогут изучать прямоугольник, ромб и квадрат — особые виды параллелограмма. Те же свойства позволяют решать задачи на длины и углы в других четырёхугольниках.

Что запомнить

• У параллелограмма обе пары противоположных сторон параллельны.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.