2.1. Четырёхугольник и его свойства

Определения и обозначения

Четырёхугольник — фигура, образованная замкнутой ломаной из четырёх звеньев. Точки, в которых соединяются звенья, называются вершинами, а сами звенья — сторонами. Например, у фигуры ABCD вершины — A, B, C и D, а стороны соединяют соседние вершины.

Вершины четырёхугольника записывают последовательно, обходя фигуру по контуру: ABCD. Поэтому сторонами будут AB, BC, CD и DA, то есть отрезки между соседними в записи буквами, включая последнюю и первую. Такой порядок нужен, чтобы точно указать, какие отрезки составляют границу фигуры.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Например, в ABCD отрезки AC и BD — диагонали, а AB — сторона, потому что A и B соседствуют по контуру. Диагонали не входят в границу фигуры и помогают изучать её внутреннее устройство.

Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Если хотя бы для одной стороны это условие не выполняется, четырёхугольник невыпуклый. У выпуклого четырёхугольника диагонали проходят внутри фигуры, поэтому его удобно делить диагональю на треугольники.

Как это устроено

Четырёхугольник обозначают четырьмя буквами в том порядке, в котором вершины встречаются при обходе контура. Это не просто удобная запись: по ней сразу можно определить стороны — отрезки между соседними буквами. Если начать обход с другой вершины или пойти в обратную сторону, фигура останется той же, но порядок всё равно должен соответствовать её контуру.

У фигуры четыре звена замкнутой ломаной, значит, у неё четыре стороны и четыре точки их соединения — вершины. Каждая вершина соседствует с двумя другими, поэтому из четырёх вершин образуются четыре стороны по контуру. Несоседних пар вершин всего две: в ABCD это A с C и B с D, так что диагоналей тоже две.

Диагональ выпуклого четырёхугольника соединяет вершины, не стоящие рядом на контуре, и проходит внутри фигуры. Она разбивает четырёхугольник на два треугольника: диагональ AC в ABCD образует треугольники ABC и ACD. У них нет общих внутренних точек, а вместе они составляют весь четырёхугольник. Поэтому углы обоих треугольников можно использовать, чтобы рассуждать об углах исходной фигуры.

Сумма углов каждого треугольника равна 180°. Если сложить суммы углов треугольников, полученных диагональю, выйдет 180° + 180° = 360°. Углы при концах диагонали в этих треугольниках вместе составляют соответствующие углы четырёхугольника, а два других угла — его оставшиеся углы. Значит, сложение учитывает все четыре внутренних угла ровно по одному разу.

Чтобы найти неизвестный внутренний угол, сначала сложи три известных угла, а затем вычти результат из 360°. Например, если известны углы 80°, 95° и 110°, их сумма равна 285°. Тогда четвёртый угол равен 360° − 285° = 75°. Проверка простая: сумма всех четырёх значений должна снова составить 360°.

Основные элементы и свойства четырёхугольника

Таблица помогает быстро проверить, сколько элементов должно быть у четырёхугольника, и вспомнить основные свойства. Периметр находят, складывая длины сторон: P = AB + BC + CD + DA. Если вычисляешь углы, сверяй их общую сумму с 360°.

Разбор задач

Задача 1. Назовите вершины, стороны и диагонали четырёхугольника ABCD, заданного по порядку обхода. Чтобы не спутать диагонали со сторонами, сначала проследим контур в указанном порядке. Затем отдельно выделим пары соседних и несоседних вершин.

1. Вершины в порядке обхода: A, B, C, D.
2. Соседние пары дают стороны AB, BC, CD и DA.
3. Оставшиеся пары несоседних вершин дают диагонали AC и BD.

Ответ: вершины A, B, C, D; стороны AB, BC, CD, DA; диагонали AC и BD. Такой порядок перечисления позволяет отличить границу фигуры от отрезков, проходящих между несоседними вершинами.

Задача 2. Три угла выпуклого четырёхугольника равны 80°, 95° и 110°. Найдите четвёртый угол. Используем сумму внутренних углов, равную 360°: неизвестный угол должен дополнить сумму известных до этого значения.

1. Сложим три известных угла: 80° + 95° + 110° = 285°.
2. Вычтем их сумму из 360°: 360° − 285° = 75°.
3. Проверим: 80° + 95° + 110° + 75° = 360°.

Ответ: четвёртый угол равен 75°. Проверка подтверждает, что ни один угол не потерян и не посчитан лишний раз.

Задача 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC образует треугольники ABC и ACD. В треугольнике ABC углы при A и B равны 42° и 67°, а в треугольнике ACD углы при A и D равны 31° и 74°. Найдите угол BCD. Вершина C принадлежит обоим треугольникам, поэтому сначала найдём угол при C в каждом из них.

1. В треугольнике ABC угол при C равен 180° − 42° − 67° = 71°.
2. В треугольнике ACD угол при C равен 180° − 31° − 74° = 75°.
3. Диагональ AC проходит внутри угла BCD и делит его на найденные углы, поэтому ∠BCD = 71° + 75° = 146°.

Ответ: ∠BCD = 146°. Здесь важно сложить именно два угла при C, потому что они вместе образуют угол четырёхугольника при вершине C.

Типичные ошибки

• Диагональю иногда называют отрезок между соседними вершинами. Так происходит, если смотреть только на концы отрезка, не проверяя их положение на контуре. Убедись, что вершины не соседствуют: у ABCD диагонали AC и BD, а AB — сторона.

• Сумму углов четырёхугольника могут принять за 180°, потому что это знакомая сумма углов треугольника. Но выпуклый четырёхугольник делится диагональю на два треугольника, поэтому их суммы складываются. Проверь себя: 180° + 180° = 360°.

• При сложении углов двух треугольников можно не заметить, что получены углы всего четырёхугольника. Причина ошибки — забыть, что диагональ делит углы при своих концах на части. Проследи, какие части вместе составляют каждый угол исходной фигуры, и убедись, что учтены все четыре угла.

• Если перечислять стороны или вершины не по контуру, диагональ легко принять за сторону. Это происходит, когда пары букв выбирают произвольно, а не по порядку обхода. Запиши вершины последовательно и проверь: каждая сторона должна соединять соседние точки границы.

Связь с другими темами

Для изучения четырёхугольников нужно знать, что такое многоугольник, отрезок, вершина и угол, а также помнить сумму углов треугольника — 180°. Именно это знание позволяет обосновать сумму углов четырёхугольника: его разбивают диагональю на два треугольника. Различие между соседними и несоседними вершинами помогает правильно называть стороны и диагонали.

Сумму углов 360° используют, когда находят неизвестный угол, и при изучении параллелограммов, прямоугольников, ромбов и трапеций. У этих фигур есть дополнительные свойства, но каждую из них можно рассматривать как четырёхугольник. Поэтому общее правило становится основой для решения более специальных задач.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре вершины и четыре стороны.
• Вершины обозначают последовательно по контуру.
• У четырёхугольника две диагонали.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.
• Сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°.
• Периметр равен сумме длин всех четырёх сторон.