§ 4. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Если вершины идут по порядку A, B, C, D, прямоугольник обозначают ABCD. Такое определение сразу сообщает, что у фигуры есть свойства параллелограмма и что каждый её угол равен 90°.

Противоположные стороны прямоугольника — стороны, которые не имеют общей вершины. В ABCD это AB и CD, а также BC и AD. Такое обозначение помогает не перепутать противоположные стороны с соседними, например AB и BC, и применять нужные свойства.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. У прямоугольника ABCD диагоналями являются AC и BD. По ним можно разбить фигуру на треугольники и связать стороны прямоугольника с отрезками внутри него.

Как это устроено

Прямоугольник является параллелограммом не просто по внешнему сходству: это входит в его определение. Поэтому у него противоположные стороны параллельны, а диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Эти свойства можно применять вместе с тем фактом, что углы прямоугольника прямые.

В прямоугольнике все углы равны 90° по определению. Противоположные стороны равны, потому что это свойство любого параллелограмма: можно провести диагональ и получить равные треугольники по параллельности сторон и углам. Таким образом, равенство сторон не означает, что равны все четыре стороны: равны только пары противоположных.

Докажем, что диагонали прямоугольника равны. Рассмотрим треугольники ABC и BAD: угол B и угол A прямые, сторона AB у них общая, а BC = AD как противоположные стороны прямоугольника. Значит, прямоугольные треугольники равны по двум катетам, поэтому их гипотенузы AC и BD равны. Так получается равенство диагоналей.

Есть и обратное утверждение: если у параллелограмма диагонали равны, то он прямоугольник. Пусть ABCD — параллелограмм и AC = BD; рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них AB общая, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, а диагонали равны, поэтому треугольники равны по трём сторонам; следовательно, углы ABC и BAD равны. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, значит, каждый из этих равных углов равен 90°, и параллелограмм прямоугольный.

Свойства прямоугольника позволяют составить уравнения для неизвестных величин. Если известны периметр P и одна сторона a, то из P = 2(a + b) находят другую сторону b = P/2 − a. Если известны стороны, можно воспользоваться равенством противоположных сторон; если требуется диагональ, прямоугольник делят ею на прямоугольный треугольник и применяют теорему Пифагора.

Определение и свойства прямоугольника

Сначала проверь, какие данные есть в задаче: определение прямоугольника, свойства параллелограмма или признак. Затем выбери строку таблицы, которая связывает эти данные с искомым. Обрати внимание: признак применяется только к параллелограмму, а не к любому четырёхугольнику.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольнике ABCD угол A равен 90°. Найти остальные углы. Здесь уже известно, что ABCD — прямоугольник, поэтому не требуется вычислять углы по сумме углов четырёхугольника. Используем определение: каждый угол этой фигуры прямой.

1. Записываем свойство прямоугольника: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
2. Сопоставляем данные: ∠A = 90° подтверждает это свойство, а остальные углы тоже равны 90°.

Ответ: ∠B = 90°, ∠C = 90°, ∠D = 90°.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона — 6 см. Найти другую сторону. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому в периметре две стороны имеют длину 6 см, а две другие — искомую длину x. Периметр складывается из длин всех четырёх сторон.

1. Записываем формулу: P = 2(a + b). Подставляем данные: 34 = 2(6 + x).
2. Делим обе части равенства на 2: 17 = 6 + x.
3. Вычитаем 6: x = 11 см. Проверяем: 6 + 11 + 6 + 11 = 34 см.

Ответ: другая сторона равна 11 см.

Задача 3. Диагонали параллелограмма ABCD равны. Доказать, что ABCD — прямоугольник. Нельзя сразу назвать его прямоугольником: сначала нужно применить признак и объяснить, почему равенство диагоналей приводит к прямому углу. Рассмотрим треугольники ABC и BAD, используя общую сторону и равенство противоположных сторон параллелограмма.

1. По свойству параллелограмма AB = CD и BC = AD. Сторона AB общая для треугольников ABC и BAD, а по условию AC = BD.
2. Значит, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Поэтому ∠ABC = ∠BAD.
3. У параллелограмма соседние углы в сумме дают 180°. Равные углы с такой суммой равны по 90°, следовательно, ABCD — прямоугольник.

Ответ: ABCD — прямоугольник по признаку параллелограмма с равными диагоналями.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любой параллелограмм прямоугольником. Параллельность противоположных сторон не требует, чтобы углы были прямыми, поэтому такой вывод делают, смешивая свойства двух фигур. Проверь себя: прежде чем называть фигуру прямоугольником, найди прямой угол или используй подходящий признак.

Ошибка: путать диагональ со стороной. Сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — противоположные; путаница меняет и обозначения, и расчёты. Проверь, что у концов отрезка нет общей стороны между ними: для ABCD диагонали — AC и BD.

Ошибка: применять равенство диагоналей как признак для любого четырёхугольника. Равные диагонали сами по себе не гарантируют, что у четырёхугольника есть прямые углы или даже параллельные стороны. Проверь условие: для признака должно быть известно, что фигура — параллелограмм.

Ошибка: считать, что диагонали прямоугольника обязательно перпендикулярны. Из определения и свойств следует равенство диагоналей и их деление пополам, но не прямой угол между ними; вероятно, это свойство перепутали со свойствами других фигур. Проверяй каждый вывод по известному свойству, а перпендикулярность обосновывай отдельно.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника нужны определение параллелограмма и его свойства: параллельность и равенство противоположных сторон, а также деление диагоналей пополам. Равенство диагоналей доказывают с помощью признаков равенства треугольников, поэтому важно уметь находить в них общие стороны и равные элементы.

Дальше свойства прямоугольника пригодятся при изучении квадрата: квадрат является прямоугольником с дополнительным условием равенства всех сторон. Они также помогают вычислять площади и решать задачи о четырёхугольниках, где требуется связать стороны, углы и диагонали.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом.
• Все углы прямоугольника равны 90°.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
• Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.