45. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны 90°. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Чтобы назвать фигуру прямоугольником, достаточно установить, что один её угол прямой, если уже известно, что это параллелограмм. Такое определение помогает отличать прямоугольник от других параллелограммов и применять его свойства.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. У прямоугольника две диагонали: каждая проходит внутри фигуры и связывает вершины, не имеющие общей стороны. Например, если прямоугольник обозначен ABCD, его диагонали — AC и BD. Это обозначение нужно, чтобы рассуждать о длинах диагоналей и о треугольниках, которые они образуют.

Диагонали прямоугольника равны: это означает, что их длины одинаковы, например AC = BD. Речь идёт именно о длинах отрезков, а не о том, что диагонали совпадают или имеют общую середину. Свойство пригодится, когда известна одна диагональ, а требуется найти другую. Вместе с делением диагоналей пополам оно позволяет находить отрезки от вершины до точки их пересечения.

Как это устроено

Почему достаточно потребовать прямой только один угол? Пусть один угол параллелограмма равен 90°. Каждый угол, смежный с ним, образует с ним развёрнутый угол, поэтому сумма этих двух углов равна 180°, а смежный угол тоже равен 90°. У параллелограмма противоположные углы равны, следовательно, угол, противоположный первому, также прямой. Так все четыре угла оказываются прямыми, и параллелограмм становится прямоугольником.

Прямоугольник сохраняет свойства параллелограмма, потому что по определению сам является параллелограммом. Поэтому его противоположные стороны параллельны и равны. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам: если они встретились в точке O, то AO = OC и BO = OD. Эти равенства позволяют находить неизвестные стороны и части диагоналей без дополнительных построений.

Чтобы понять, почему диагонали прямоугольника равны, обозначим его вершины по порядку A, B, C, D и проведём диагонали AC и BD. Сравним треугольники ABC и BAD: у них общая сторона AB, противоположные стороны BC и AD равны как стороны параллелограмма, а углы ABC и BAD прямые. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. При таком сравнении стороне AC соответствует сторона BD, поэтому диагонали имеют одинаковую длину.

Из равенства треугольников следует равенство именно соответствующих сторон: AC = BD. Важно следить за тем, какие стороны сопоставляются, а не делать вывод только потому, что диагонали пересекаются. Их равенство доказывается сравнением треугольников, а деление пополам следует из свойства параллелограмма. Это разные факты, хотя оба относятся к диагоналям.

Свойства прямоугольника помогают находить неизвестные углы и отрезки. Если угол ещё не назван, можно использовать то, что каждый угол прямоугольника равен 90°, или свойства смежных и противоположных углов параллелограмма. Если нужно найти сторону, учитывают равенство противоположных сторон и периметр P = 2(a + b), где a и b — соседние стороны. Для диагоналей используют одновременно их равенство и деление точкой пересечения пополам, внимательно различая целую диагональ и её половину.

Основные свойства прямоугольника

В задаче сначала определите, какие величины даны и что требуется найти. Затем выберите строку таблицы, которая связывает эти величины: например, равенство диагоналей или их деление пополам. Не смешивайте эти свойства: равные диагонали не означают, что одна диагональ является половиной другой.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме один угол равен 90°. Обосновать, что это прямоугольник. Здесь уже известно, что фигура — параллелограмм, поэтому достаточно применить свойства его углов и проверить остальные три угла. Прямоугольником называют параллелограмм со всеми прямыми углами.

1. Смежный с данным угол в сумме с ним равен 180°. Поэтому он равен 180° − 90° = 90°.
2. Противоположный данному угол равен ему, поскольку противоположные углы параллелограмма равны. Он тоже равен 90°.
3. Четвёртый угол противоположен смежному углу, поэтому также равен 90°. Все углы фигуры прямые, следовательно, это прямоугольник.

Ответ: параллелограмм является прямоугольником, так как все его углы равны 90°.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона — 6 см. Найти другую сторону и стороны прямоугольника. Обозначим неизвестную соседнюю сторону буквой b. В периметр входят две стороны длиной 6 см и две стороны длиной b, ведь противоположные стороны прямоугольника равны.

1. Запишем формулу периметра: 34 = 2(6 + b).
2. Разделим обе части равенства на 2: 17 = 6 + b. Тогда b = 17 − 6 = 11 см.
3. Одна пара противоположных сторон имеет длину 6 см, а другая — 11 см. Проверим: 6 + 11 + 6 + 11 = 34 см.

Ответ: другая сторона равна 11 см; стороны прямоугольника — 6 см, 11 см, 6 см и 11 см.

Задача 3. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке O. Одна диагональ равна 18 см, а отрезок от вершины до O равен 5 см. Найти вторую диагональ и расстояние от O до противоположной вершины на первой диагонали. Сначала используем равенство диагоналей, затем — их деление точкой пересечения пополам.

1. Диагонали прямоугольника равны. Поэтому вторая диагональ тоже равна 18 см.
2. Точка O — середина первой диагонали, значит, отрезок от O до её противоположной вершины равен отрезку от другой вершины до O.
3. Дан один из этих равных отрезков: 5 см. Следовательно, искомое расстояние также равно 5 см. Длина всей первой диагонали при этом остаётся равной 18 см, а не 5 см.

Ответ: вторая диагональ равна 18 см, искомое расстояние равно 5 см.

Типичные ошибки

• Считать, что одного прямого угла достаточно без объяснения. Такое заключение верно для параллелограмма, но нужно показать, как прямыми становятся остальные углы. Ошибка возникает, когда признак принимают за очевидный факт. Проверьте себя: укажите, где применяются свойства смежных и противоположных углов.
• Путать равенство диагоналей с их делением пополам. Первое означает, что диагонали имеют одинаковую длину, второе — что точка пересечения делит каждую из них на две равные части. Эти свойства легко смешать, потому что оба говорят о диагоналях. Проверяйте, сравниваете ли вы две целые диагонали или части одной диагонали.
• Утверждать, что диагонали прямоугольника обязательно перпендикулярны. Это не следует ни из прямых углов прямоугольника, ни из равенства диагоналей. Ошибку допускают, перенося на любой прямоугольник свойство квадрата. Перед выводом проверьте, есть ли в условии отдельное основание считать диагонали перпендикулярными.
• Обозначать диагональ и её половину одной и той же длиной. Точка пересечения делит диагональ пополам, поэтому каждая половина вдвое короче целой диагонали. Путаница часто возникает из-за того, что не записывают, какой именно отрезок дан. Обозначьте всю диагональ и её части отдельно и проверьте, что две половины вместе дают её длину.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника нужно знать определение параллелограмма и его свойства. В частности, пригодятся правила для смежных и противоположных углов, равенство противоположных сторон и деление диагоналей пополам. Без этих фактов нельзя обосновать, почему один прямой угол делает параллелограмм прямоугольником.

Свойства прямоугольника применяются в задачах на четырёхугольники, вычисление длин и доказательство равенства треугольников. Умение сравнивать треугольники помогает обосновать равенство диагоналей, а свойства диагоналей — находить неизвестные отрезки. Эти приёмы связывают изучение фигур с решением более сложных геометрических задач.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм со всеми прямыми углами.
• Если один угол параллелограмма прямой, то он является прямоугольником.
• Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
• Диагонали прямоугольника не обязательно перпендикулярны.