54. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны 90°. Произвольный параллелограмм может иметь наклонённые углы, а у прямоугольника стороны, сходящиеся в вершине, перпендикулярны. Определение помогает отличить прямоугольник от других параллелограммов и понять, какие свойства можно использовать в задаче.

Диагональ прямоугольника — отрезок, который соединяет две противоположные вершины. Например, в прямоугольнике ABCD диагоналями будут AC и BD. Обозначение по концам отрезка позволяет сразу увидеть, какие вершины он соединяет, и не спутать диагональ со стороной.

Смежные стороны прямоугольника — стороны, у которых одна общая вершина. Например, AB и BC смежные, потому что встречаются в точке B. По определению прямоугольника угол между ними прямой, поэтому такие стороны перпендикулярны; это нужно, когда рассматривают прямоугольные треугольники внутри фигуры.

Как это устроено

Чтобы понять, почему все углы параллелограмма становятся прямыми, достаточно знать один прямой угол. Соседние углы параллелограмма образуют в сумме 180°, поэтому если один равен 90°, соседний тоже равен 180° − 90° = 90°. Противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, оставшиеся углы также равны 90°. Значит, все четыре угла прямые, и параллелограмм является прямоугольником.

Прямоугольник сохраняет свойства параллелограмма, потому что это не отдельный вид четырёхугольника, а именно параллелограмм с дополнительным условием про углы. У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, поэтому эти утверждения верны и для прямоугольника. Например, в ABCD стороны AB и CD параллельны и равны, а BC и AD тоже параллельны и равны. Это не означает, что равны соседние стороны.

Докажем, что диагонали прямоугольника равны. Рассмотрим треугольники ABC и DCB: в обоих есть прямой угол, катет BC у них общий, а второй катет AB равен DC как противоположная сторона параллелограмма. Прямоугольные треугольники равны по двум катетам, поэтому их гипотенузы AC и DB равны. Значит, диагонали прямоугольника равны.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Если обозначить точку пересечения через O, то AO = OC и BO = OD. В прямоугольнике дополнительно AC = BD, поэтому их половины тоже равны: AO = BO = CO = DO. Чтобы найти одну такую часть, достаточно разделить длину диагонали на 2; например, при AC = 14 см получаем AO = 7 см.

Есть и способ распознать прямоугольник, не проверяя все его углы по отдельности. Пусть дан параллелограмм ABCD с равными диагоналями AC и BD. В треугольниках ABC и BAD стороны AB общая, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, а AC = BD по условию. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому углы ABC и BAD равны; они соседние и в сумме составляют 180°, значит, оба равны 90°. Следовательно, параллелограмм является прямоугольником.

Свойства и признак прямоугольника

Сначала проверь, что фигура действительно является параллелограммом: для признака с диагоналями это обязательное условие. Затем выбери строку таблицы, которая подходит к известным данным. Различай свойства, которые помогают находить величины, и признак, который позволяет доказать, что фигура — прямоугольник.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольнике ABCD угол A равен 90°. Найдите остальные углы. Здесь можно воспользоваться тем, что прямоугольник является параллелограммом: соседние углы дополняют друг друга до 180°, а противоположные равны. Не нужно вычислять углы по рисунку или предполагать их величины на глаз.

1. Угол B соседний с углом A, поэтому ∠B = 180° − 90° = 90°.
2. Угол C противоположен углу A, значит, ∠C = ∠A = 90°.
3. Угол D противоположен углу B, значит, ∠D = ∠B = 90°.

Ответ: ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Задача 2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AC = 14 см. Найдите AO и BD. Здесь нужны два разных свойства: диагонали прямоугольника равны, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сначала найдём длину второй диагонали, а затем — половину первой.

1. Так как диагонали прямоугольника равны, BD = AC = 14 см.
2. Точка O делит AC пополам, поэтому AO = AC : 2 = 14 : 2 = 7 см.

Ответ: AO = 7 см, BD = 14 см. Отрезок BO тоже равен 7 см, поскольку он составляет половину диагонали BD.

Задача 3. У параллелограмма диагонали равны 10 см. Докажите, что он является прямоугольником. Это задача на признак, а не просто на вычисление: важно использовать то, что фигура уже названа параллелограммом. Обозначим её ABCD и сопоставим треугольники ABC и BAD, содержащие равные диагонали.

1. В треугольниках ABC и BAD сторона AB общая, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, а AC = BD по условию.
2. Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому их углы ABC и BAD равны.
3. Эти углы соседние в параллелограмме, значит, их сумма равна 180°. Равные углы с такой суммой составляют по 90°.
4. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: параллелограмм является прямоугольником. Длина диагоналей 10 см для доказательства несущественна: достаточно того, что они равны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что у прямоугольника все четыре стороны равны. Так думают, потому что прямоугольник и квадрат имеют прямые углы, но это не делает их стороны одинаковыми. У прямоугольника равны противоположные стороны, а равенство всех четырёх сторон — дополнительное свойство квадрата. Проверь, какие именно стороны сравниваются в условии.

Ошибка: утверждать, что диагонали прямоугольника перпендикулярны. Перпендикулярность сторон, выходящих из одной вершины, часто по ошибке переносят на диагонали. На самом деле диагонали равны и делятся пополам, но прямой угол между ними не гарантирован. Для проверки можно представить прямоугольник, у которого длина заметно больше ширины.

Ошибка: заключать, что любой четырёхугольник с равными диагоналями — прямоугольник. Признак относится только к параллелограммам, у которых уже известны свойства противоположных сторон и углов. Если дан лишь произвольный четырёхугольник, равенства диагоналей недостаточно. Перед применением признака проверь, что выполнено его условие.

Ошибка: путать равенство диагоналей с равенством их половин или принимать половину за всю диагональ. Точка пересечения делит каждую диагональ пополам, поэтому при длине диагонали 14 см отрезок от вершины до точки пересечения равен 7 см. Сравни, какую величину спрашивают: всю диагональ или её часть. Проверка проста: две половины одной диагонали должны в сумме дать её полную длину.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника нужно знать определение параллелограмма, свойства его углов, сторон и диагоналей. При доказательстве равенства диагоналей используются признаки равенства треугольников и свойства прямоугольных треугольников. Позже эти сведения пригодятся при изучении квадрата, вычислении длин отрезков и доказательстве свойств других четырёхугольников. Умение отличать свойства от признаков помогает понять, что можно найти, а что — доказать.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм со всеми прямыми углами.
• В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
• Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
• Не у каждого прямоугольника диагонали перпендикулярны.