§ 4. Прямоугольник

Определения и обозначения

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. На практике достаточно потребовать, чтобы прямым был один угол: свойства параллелограмма автоматически делают прямыми остальные углы. Это определение позволяет отличить прямоугольник от обычного параллелограмма и применять к нему дополнительные свойства.

Диагональ прямоугольника — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В прямоугольнике ABCD диагоналями будут AC и BD, а их точку пересечения обозначим буквой O. Диагонали нужны для изучения строения фигуры и образуют внутри неё прямоугольные треугольники.

Признак прямоугольника по диагоналям формулируется так: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Признак удобен тогда, когда прямые углы трудно установить непосредственно. Обратите внимание: условие о параллелограмме обязательно.

Как это устроено

Пусть один угол параллелограмма равен 90°. Противоположный ему угол равен 90°, потому что противоположные углы параллелограмма равны. Каждый соседний угол дополняет прямой угол до 180°, поэтому он тоже равен 90°; так получаются все четыре прямых угла.

Прямоугольник остаётся параллелограммом, поэтому наследует его основные свойства. Его противоположные стороны попарно параллельны и равны: AB = CD и BC = AD. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то AO = OC и BO = OD, поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Докажем, что диагонали прямоугольника равны. Диагональ AC образует прямоугольный треугольник ABC, а диагональ BD — прямоугольный треугольник BAD. У этих треугольников общий катет AB, а вторые катеты BC и AD равны как противоположные стороны прямоугольника; значит, треугольники равны по двум катетам, и их гипотенузы AC и BD равны.

Рассмотрим обратную ситуацию: в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Сравним треугольники ABC и BAD: сторона AB у них общая, BC = AD как противоположные стороны параллелограмма, а AC = BD по условию. По трём сторонам треугольники равны, значит, соседние углы ABC и BAD равны; они являются смежными, поэтому каждый равен 90°, и параллелограмм — прямоугольник.

Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника, например AC — на ABC и ACD. Каждый из них прямоугольный, потому что стороны прямоугольника перпендикулярны. Поэтому сторона, сторона и диагональ связаны теоремой Пифагора: d² = a² + b².

Свойства и признак прямоугольника

Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство по известным данным задачи. Если дан прямоугольник, можно пользоваться всеми строками со свойствами. Если дан параллелограмм и равенство диагоналей, применяйте последнюю строку как признак.

Разбор задач

Задача 1

В параллелограмме один угол равен 90°. Определите вид параллелограмма и остальные углы. Нужно использовать связи между углами параллелограмма, а затем сравнить полученный результат с определением прямоугольника.

1. Противоположный угол равен данному, поэтому он тоже равен 90°.
2. Каждый соседний угол в сумме с данным равен 180°, значит, каждый равен 180° − 90° = 90°.
3. Все четыре угла прямые, поэтому параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: это прямоугольник; остальные три угла равны 90°.

Задача 2

Диагональ прямоугольника равна 13 см, одна сторона — 5 см. Найдите вторую сторону. Диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник, поэтому неизвестную сторону найдём из теоремы Пифагора.

1. Обозначим вторую сторону через b, а диагональ — через d.
2. Запишем теорему Пифагора: 13² = 5² + b².
3. Получаем b² = 169 − 25 = 144, значит, b = 12 см.

Ответ: вторая сторона равна 12 см. Положительное значение выбираем потому, что длина стороны не может быть отрицательной.

Задача 3

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O. Докажите, что ABCD — прямоугольник. Точка O подтверждает свойство диагоналей параллелограмма, но для доказательства прямоугольности удобнее сравнить треугольники по трём сторонам.

1. Так как ABCD — параллелограмм, то BC = AD, а сторона AB является общей для треугольников ABC и BAD.
2. По условию AC = BD. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам.
3. Значит, углы ABC и BAD равны. Они смежные, поэтому их сумма 180°, а каждый из них равен 90°.

Ответ: ABCD — прямоугольник по признаку параллелограмма с равными диагоналями. Равенство AO = OC и BO = OD также следует из свойства диагоналей параллелограмма.

Типичные ошибки

Считать, что у прямоугольника все стороны равны. Это свойство квадрата, а у прямоугольника равны только противоположные стороны. Проверьте, не используете ли вы условие, которого в задаче нет.

Называть равными диагонали любого параллелограмма. Диагонали равны у прямоугольника, но в обычном параллелограмме они могут иметь разную длину. Сначала убедитесь, что фигура уже названа прямоугольником.

Считать, что равные диагонали любого четырёхугольника доказывают прямоугольность. Такой признак действует только для параллелограмма. Перед применением признака проверьте, что противоположные стороны параллельны.

Неверно применять теорему Пифагора. Диагональ прямоугольника — гипотенуза, а стороны — катеты, поскольку угол между сторонами прямой. Нарисуйте треугольник и убедитесь, что записываете d² = a² + b².

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольника нужны определение параллелограмма и его свойства: углы, стороны и диагонали. При решении задач пригодятся теорема Пифагора и признаки равенства треугольников. Эти знания продолжат работать при изучении квадрата, площадей фигур и других задач на четырёхугольники.

Что запомнить

• Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом.
• У прямоугольника все углы прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
• Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
• Диагональ прямоугольника вместе с двумя его сторонами образует прямоугольный треугольник.