53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его обычно обозначают ABCD, называя вершины по порядку: A, B, C, D. Значит, AB ∥ CD и BC ∥ AD; это определение позволяет узнать параллелограмм по его сторонам.

Противолежащие стороны — стороны, которые не имеют общей вершины. В ABCD это пары AB и CD, BC и AD; их удобно отмечать на схематичном чертеже разными одинаковыми штрихами. Такое обозначение помогает не перепутать стороны, которые сравнивают в задачах.

Противолежащие углы — углы при вершинах, не соединённых общей стороной: ∠A и ∠C, ∠B и ∠D. Соседние углы имеют общую сторону, например ∠A и ∠B. Различать эти пары нужно, чтобы верно применять свойства равенства углов и их суммы.

Как это устроено

Проведём диагональ AC параллелограмма ABCD. Она разделит фигуру на треугольники ABC и CDA, у которых есть общая сторона AC. Поскольку AB ∥ CD, углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при секущей AC. По той же причине из BC ∥ AD равны углы BCA и DAC.

В треугольниках ABC и CDA равны сторона AC и два прилежащих к ней угла: ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Равенство треугольников означает, что соответствующие элементы одной фигуры равны элементам другой, а не просто похожи на чертеже.

Сопоставим соответствующие стороны треугольников: AB находится напротив угла C, а CD — напротив равного ему угла A второго треугольника. Так же соответствуют BC и DA. Значит, AB = CD и BC = AD: именно так из равенства треугольников получают равенство противоположных сторон, а не из одного факта, что эти стороны параллельны.

Угол ABC треугольника ABC вместе с углом CDA треугольника CDA образует пару соответствующих углов равных треугольников; поэтому ∠B = ∠D. Угол при вершине A параллелограмма складывается из углов BAC и CAD, а угол C — из DCA и ACB. Равенство накрест лежащих углов даёт равенство этих сумм, поэтому ∠A = ∠C.

Соседние углы, например ∠A и ∠B, лежат по одну сторону от секущей AB при параллельных прямых AD и BC. Это односторонние углы, поэтому их сумма равна 180°. То же правило действует для любой пары соседних углов; оно согласуется с тем, что противоположные углы равны: если один угол равен x, то соседний равен 180° − x, а противоположные им углы повторяют эти значения.

Свойства сторон и углов параллелограмма ABCD

Сначала определите, какие элементы сравниваются: стороны или углы, соседние они или противоположные. Затем выберите нужное равенство либо сумму 180° и подставьте известные значения. Если в задаче требуется обоснование, укажите равенство треугольников или свойство односторонних углов.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см, а BC — 4 см. Найдите CD и AD. Здесь каждая неизвестная сторона противоположна известной, поэтому используем свойство противоположных сторон.

1. Стороне AB противоположна CD. По свойству параллелограмма CD = AB.
2. Подставляем известное значение: CD = 7 см.
3. Стороне BC противоположна AD, поэтому AD = BC = 4 см.

Ответ: CD = 7 см, AD = 4 см. Каждое значение перенесли на противоположную сторону, не меняя длину.

Задача 2. В параллелограмме один угол равен 68°. Найдите три остальных угла. Сначала учтём, что противоположный угол равен данному, а два соседних дополняют его до 180°.

1. Противоположный угол равен 68°.
2. Каждый соседний угол равен 180° − 68° = 112°.
3. Получаем все четыре угла: два по 68° и два по 112°.

Ответ: три остальных угла равны 112°, 68° и 112°. Проверка: противоположные углы попарно равны, а соседние в сумме дают 180°.

Задача 3. В параллелограмме ABCD угол A на 36° больше угла B. Найдите все углы. Углы A и B соседние, поэтому их сумма равна 180°; эту связь и используем для уравнения.

1. Обозначим угол B через x°. Тогда угол A равен (x + 36)°.
2. Составим уравнение: x + (x + 36) = 180. Отсюда 2x = 144 и x = 72.
3. Значит, ∠B = 72°, а ∠A = 72° + 36° = 108°.
4. Противоположные углы равны: ∠D = ∠B, ∠C = ∠A.

Ответ: ∠A = ∠C = 108°, ∠B = ∠D = 72°. Проверка: 108° + 72° = 180°, и условие о разности углов выполняется.

Типичные ошибки

Не считай соседние углы равными: равны именно противоположные, а соседние в сумме дают 180°. Ошибку легко допустить, если на рисунке углы выглядят одинаковыми, но чертёж может быть не выполнен в масштабе. Проверь, имеют ли углы общую сторону: если да, используй сумму 180°.

Не путай пары противоположных сторон: в ABCD это AB и CD, BC и AD, а не стороны с общей вершиной. Обычно путаются, когда смотрят только на буквы, не представляя форму четырёхугольника. Проследи, какие стороны расположены напротив друг друга и не соприкасаются в вершине.

Не утверждай, что противоположные стороны равны только потому, что они параллельны. Параллельность сообщает направление прямых, но равенство длин нужно обосновать отдельно. Сошлись на доказанном свойстве параллелограмма, которое следует из равенства треугольников после проведения диагонали.

При поиске углов учитывай оба правила: противоположные углы равны, соседние в сумме дают 180°. Если применить только одно из них, можно найти не все углы или повторить неверное значение. Проверь результат: у каждого соседнего угла с найденным должна получиться сумма 180°, а противоположные должны совпасть.

Связь с другими темами

Для доказательства свойства нужны определение параллелограмма, правила о накрест лежащих и односторонних углах при параллельных прямых, а также признаки равенства треугольников. Без этих знаний непонятно, откуда берутся равные элементы двух частей фигуры. В новых задачах свойства параллелограмма помогают вычислять стороны и углы, доказывать равенство фигур и рассуждать о других свойствах параллелограммов.

Что запомнить

• У параллелограмма противоположные стороны равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• Стороны и углы следует называть по вершинам, соблюдая порядок букв.