"Геометрия", Погорелов А.В.
Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами. Его диагонали пересекаются, и точка пересечения делит каждую диагональ на две равные части. Это свойство помогает находить длины диагоналей и их частей, а также доказывать, что четырёхугольник является параллелограммом. При этом диагонали не обязательно равны друг другу: равны только половины одной и той же диагонали.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его можно обозначить ABCD: стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD тоже параллельны. Название сообщает не только форму фигуры, но и важные свойства её сторон. Например, противоположные стороны параллелограмма равны.
Диагональ параллелограмма — отрезок, который соединяет две противоположные вершины. В параллелограмме ABCD диагоналями служат AC и BD. Стороны соединяют соседние вершины, а диагонали проходят через внутреннюю часть фигуры. Они нужны, чтобы изучать, как устроен параллелограмм, и находить связанные с ним отрезки.
Точка пересечения диагоналей — общая точка, принадлежащая обеим диагоналям. Если AC и BD пересекаются в точке O, то на диагонали AC получаются отрезки AO и OC, а на BD — BO и OD. Такая запись помогает точно указать, какие части сравниваются. Каждая диагональ состоит из двух частей: AC = AO + OC, BD = BO + OD.
Свойство диагоналей параллелограмма состоит в том, что точка их пересечения делит каждую диагональ пополам. Для обозначений ABCD и O это означает AO = OC и BO = OD. Иначе говоря, отрезки по разные стороны от O на одной диагонали имеют одинаковую длину. Это свойство помогает находить целую диагональ по её половине и выполнять доказательства.
Обозначим параллелограмм ABCD и проведём диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. Чтобы доказать нужное свойство, сравним части диагоналей AO с OC, а BO с OD. Для этого удобно рассмотреть треугольники AOB и COD: их сторонам соответствуют отрезки диагоналей, а ещё у них есть стороны и углы, связанные с параллелограммом. Наша цель — установить равенство этих треугольников, а затем сравнить соответствующие стороны.
У треугольников AOB и COD равны стороны AB и CD. Это не догадка по чертежу: AB и CD — противоположные стороны параллелограмма, а противоположные стороны параллелограмма равны. Поэтому у выбранных треугольников уже есть одна пара равных сторон. Она будет общей для дальнейшего доказательства равенства треугольников.
Угол ABO равен углу CDO. Прямые AB и CD параллельны, а BD пересекает их, поэтому эти углы являются накрест лежащими. По той же причине угол BAO равен углу DCO: параллельные AB и CD пересекает другая секущая — AC. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, так что получаем ещё две пары равных элементов.
В треугольниках AOB и COD сторона AB и два прилежащих к ней угла равны соответственно стороне CD и двум прилежащим к ней углам. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. В равных треугольниках соответствующие стороны одинаковы: стороне AO соответствует OC, а стороне BO — OD. Следовательно, AO = OC и BO = OD.
Полученные равенства и есть свойство диагоналей параллелограмма: точка O делит каждую диагональ на две равные части, то есть является серединой обеих диагоналей. Если известна одна половина AC, целую диагональ можно найти, сложив две равные половины; так же поступают с BD. Но из этого доказательства не следует, что AC и BD равны между собой: равенство относится к частям одной диагонали, а не к двум разным диагоналям.
| Диагональ | Части, на которые её делит точка O | Следствие |
|---|---|---|
| AC | AO и OC | AO = OC; O — середина AC |
| BD | BO и OD | BO = OD; O — середина BD |
| AC и BD | AO, OC, BO и OD | AC = 2AO = 2OC; BD = 2BO = 2OD |
В таблице сравниваются части одной диагонали: AO с OC, а BO с OD. Чтобы найти всю диагональ, сложите её две половины или удвойте длину одной из них. Не сравнивайте между собой AC и BD: их длины могут быть разными.
Задача 1. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Если AO = 5 см, найдите AC. Нужно использовать свойство диагоналей именно для отрезков AO и OC, лежащих на одной диагонали. Затем достаточно сложить эти части, чтобы получить AC.
Ответ: AC = 10 см. Удвоение здесь допустимо, потому что известна длина одной половины, а вторая половина той же диагонали ей равна. К диагонали BD длина AO отношения не имеет.
Задача 2. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в O, причём AO = OC и BO = OD. Как доказать, что ABCD — параллелограмм? Здесь требуется не применить свойство уже известного параллелограмма, а воспользоваться обратным по смыслу утверждением — признаком. В условии как раз сказано, что точка пересечения делит обе диагонали пополам.
Ответ: ABCD — параллелограмм по признаку деления диагоналей пополам. Чтобы применить этот признак, нужны оба равенства: отдельно для AC и отдельно для BD. Одного равенства, например AO = OC, для этого вывода недостаточно.
Задача 3. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в O. Известно, что AO = 2x + 1, OC = 5x − 8, BO = 3x, OD = 12. Найдите x и длины диагоналей. Сначала нужно составить равенство для половин AC и отдельно для половин BD. Так мы используем свойство и сможем проверить, согласуются ли полученные данные.
Ответ: такого параллелограмма с указанными выражениями и длинами не существует. Первое равенство даёт AO = OC = 7 см и AC = 14 см, а второе требует x = 4. Поэтому нельзя подставить один ответ для x и вычислить обе диагонали: в условии есть противоречие.
Ошибка: считать, что диагонали параллелограмма обязательно равны, то есть записывать AC = BD. Так можно подумать, потому что обе диагонали пересекаются и делятся пополам. Но свойство сравнивает только половины одной диагонали: AO = OC и BO = OD. Проверьте себя: у каждой пары отрезки должны лежать на одной прямой.
Ошибка: перепутать соответствующие половины и написать AO = BO. Отрезки AO и BO принадлежат разным диагоналям, и свойство не устанавливает их равенство. Путаница возникает, если ориентироваться только на то, что оба отрезка начинаются в O. Сверьте обозначения: на AC равны AO и OC, а на BD — BO и OD.
Ошибка: объявить части диагоналей равными, просто посмотрев на рисунок. Чертёж может быть выполнен неточно, поэтому видимая длина отрезков не является доказательством. Равенство обосновывают через равенство треугольников AOB и COD. При проверке доказательства найдите, какие стороны и углы позволяют применить признак равенства треугольников.
Ошибка: применять свойство к любому четырёхугольнику без дополнительных условий. Доказательство относится к параллелограмму, а для произвольного четырёхугольника деление диагоналей пополам не гарантировано. Можно применить отдельный признак: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. Перед решением проверьте, что именно дано: параллелограмм или равенство половин диагоналей.
Для доказательства свойства нужны определение параллелограмма и равенство его противоположных сторон. Также пригодятся накрест лежащие углы: они равны, когда параллельные прямые пересечены секущей. Затем применяется признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Свойство диагоналей помогает находить длины отрезков, а обратное утверждение используется как признак параллелограмма.
Какое свойство диагоналей параллелограмма нужно запомнить?
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если AC и BD пересекаются в O, то AO = OC и BO = OD.
Почему точка пересечения диагоналей делит их пополам?
При пересечении диагоналей образуются треугольники AOB и COD. В них равны сторона AB и CD, а также углы при этих сторонах, поэтому треугольники равны и их соответствующие части диагоналей равны.
Обязательно ли диагонали параллелограмма равны?
Нет, равенство диагоналей не следует из свойства параллелограмма. Равны части каждой отдельной диагонали: AO = OC и BO = OD.
Как найти длину диагонали, если известна одна её половина?
Умножьте известную половину на 2, потому что точка пересечения делит диагональ на две равные части. Например, если AO = 5 см, то AC = 5 + 5 = 10 см.
Можно ли по диагоналям доказать, что четырёхугольник является параллелограммом?
Да. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точка пересечения делит каждую из них пополам, то четырёхугольник является параллелограммом. Это отдельный признак параллелограмма.
52. Свойство диагоналей параллелограмма
