"Геометрия", Погорелов А.В.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Его свойства помогают находить неизвестные стороны и углы, а также доказывать, что данный четырёхугольник относится к этому виду. Противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Последнее свойство можно использовать и наоборот: если диагонали четырёхугольника делятся пополам, он является параллелограммом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольнике ABCD параллельны пары AB и CD, BC и AD. Это определение помогает отличить параллелограмм от фигур, у которых параллельна только одна пара сторон.
Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, не имеющие общей вершины. Например, у ABCD сторона AB противоположна CD, а BC — AD. Такое обозначение нужно, чтобы точно формулировать свойства и не путать эти пары со сторонами, которые соприкасаются.
Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В ABCD диагонали — AC и BD. Они делят фигуру на треугольники, сравнение которых помогает доказать свойства параллелограмма.
Противоположные углы расположены при противоположных вершинах: например, углы A и C в ABCD. Углы A и B — соседние, потому что имеют общую сторону AB. Различие важно: противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют 180°.
Проведём диагональ AC в параллелограмме ABCD. Она пересекает параллельные прямые AB и CD, поэтому углы BAC и ACD равны как накрест лежащие; таким же образом из BC ∥ AD получаем равенство углов BCA и CAD. Сторона AC общая для треугольников ABC и CDA, значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Поэтому AB = CD, а BC = AD: у параллелограмма равны противоположные стороны. Этот вывод полезен в задачах, когда известна одна сторона, а требуется найти противоположную или установить равенство отрезков.
Равенство треугольников ABC и CDA также связывает противоположные углы: угол B равен углу D. Соседние углы, например A и B, образованы секущей AB при параллельных прямых AD и BC; это внутренние односторонние углы, поэтому их сумма равна 180°. Аналогично устроены остальные пары: противоположные углы равны, а соседние — дополнительные.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O. Сравним треугольники AOB и COD: AB = CD, поскольку это противоположные стороны, углы ABO и CDO равны как накрест лежащие при AB ∥ CD, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Треугольники равны, поэтому AO = OC и BO = OD: каждая диагональ делится другой пополам.
Верно и обратное утверждение — признак параллелограмма по диагоналям. Если AO = OC и BO = OD, то треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними; отсюда равны углы ABO и CDO, значит, AB ∥ CD. Аналогично сравниваются треугольники AOD и COB, что даёт AD ∥ BC; обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому ABCD — параллелограмм.
| Что рассматриваем | Утверждение | Как использовать в задаче |
|---|---|---|
| Противоположные стороны | Параллельны и равны | Найти неизвестную сторону или доказать равенство отрезков |
| Противоположные углы | Равны | Найти угол, противоположный известному |
| Соседние углы | В сумме равны 180° | Вычесть известный угол из 180° |
| Диагонали | Точкой пересечения делятся пополам | Найти части диагоналей или проверить равенство отрезков |
| Признак параллелограмма по диагоналям | Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, он — параллелограмм | Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом |
Сначала выясни, какая информация дана: длины сторон, величины углов или части диагоналей. Затем выбери строку таблицы с нужным свойством и запиши, почему оно применимо. Для доказательства самого параллелограмма используй признак, а не только отдельное свойство.
Задача 1. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см. Найдите CD. Нужно определить, как связаны эти стороны: AB и CD не имеют общей вершины, значит, они противоположные. Противоположные стороны параллелограмма равны.
Ответ: CD = 7 см. Здесь не требуется находить другие стороны: достаточно определить, что AB и CD — противоположная пара.
Задача 2. В параллелограмме один угол равен 68°. Найдите три остальных угла. Обозначим известный угол, например, ∠A = 68°. Сначала найдём противоположный угол, а затем два соседних: такой порядок позволяет использовать оба свойства углов параллелограмма.
Ответ: три остальных угла равны 68°, 112° и 112°. Проверка: сумма всех углов четырёхугольника составляет 360°, и 68° + 112° + 68° + 112° = 360°.
Задача 3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O; AO = 5 см, CO = 5 см, BO = 3 см, DO = 3 см. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Из условия видно, что точка O делит обе диагонали на равные части. Это как раз условие признака по диагоналям.
Ответ: ABCD — параллелограмм. Для доказательства не нужно находить длины сторон: достаточно проверить равенство обеих пар частей диагоналей.
Ошибка: считать параллелограммом четырёхугольник, у которого параллельна только одна пара сторон. Так можно подумать, потому что у некоторых других четырёхугольников тоже есть пара параллельных сторон. Проверь обе пары: по определению у параллелограмма параллельны и AB с CD, и BC с AD.
Ошибка: путать противоположные и соседние стороны или углы. Обычно это происходит, если смотреть только на обозначения букв, а не на расположение вершин. Проверь, есть ли общая вершина: у соседних элементов она есть, у противоположных — нет.
Ошибка: считать, что диагонали параллелограмма обязательно равны. Это свойство верно не для каждого параллелограмма, поэтому нельзя заменять им свойство деления диагоналей пополам. Проверяй формулировку: точка пересечения делит каждую диагональ на равные части, но длины диагоналей могут различаться.
Ошибка: доказывать, что четырёхугольник — параллелограмм, лишь потому, что его диагонали равны. Такое равенство само по себе не является признаком. Для проверки найди точку пересечения и сравни части каждой диагонали: нужны AO = OC и BO = OD.
Для изучения параллелограмма нужны понятия четырёхугольника, параллельных прямых и диагонали. Также важно уметь сравнивать треугольники и распознавать углы при параллельных прямых. Именно эти знания позволяют обосновать равенство сторон, углов и частей диагоналей.
Свойства параллелограмма пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата — это его частные виды с дополнительными свойствами. Они также помогают решать задачи на площади: чтобы находить площадь фигур и сравнивать её с площадями треугольников, нужно уверенно работать со сторонами, углами и диагоналями.
Как по определению распознать параллелограмм?
Нужно проверить, параллельны ли обе пары противоположных сторон. Если параллельна только одна пара, этого недостаточно.
Какие стороны параллелограмма называют противоположными?
Это стороны, у которых нет общей вершины. В параллелограмме ABCD противоположные пары — AB и CD, BC и AD.
Как связаны между собой углы параллелограмма?
Углы при противоположных вершинах равны. Соседние углы имеют общую сторону, и их сумма равна 180°.
Что происходит с диагоналями параллелограмма в точке пересечения?
Точка пересечения делит каждую диагональ на две равные части. При этом сами диагонали не обязательно равны.
Достаточно ли равенства диагоналей, чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?
Нет, одного равенства диагоналей недостаточно. Для признака нужно, чтобы диагонали пересекались и точка пересечения делила каждую из них пополам.
51. Параллелограмм
