50. Определение четырёхугольника

Определения и обозначения

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырёх точек и четырёх отрезков, которые последовательно соединяют эти точки. При этом никакие три вершины не лежат на одной прямой. Такое условие помогает отличить полноценные углы фигуры от случая, когда несколько точек расположены на одной прямой.

Вершины четырёхугольника — четыре точки, которыми ограничена фигура. Их обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C и D. Буквы нужны, чтобы удобно указывать точки в записи и отличать одну вершину от другой.

Стороны четырёхугольника — отрезки, соединяющие соседние вершины. Если вершины идут по порядку A, B, C, D, то стороны обозначают AB, BC, CD и DA. По этим обозначениям видно, какие именно отрезки образуют границу фигуры.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, который соединяет две несоседние вершины. В четырёхугольнике ABCD такими отрезками будут AC и BD. Это определение позволяет не путать диагонали со сторонами, у которых общая вершина соседняя.

Как это устроено

Чтобы получить четырёхугольник, отметь четыре точки и соедини их отрезками в выбранном порядке, а затем замкни ломаную. Например, проведи AB, BC, CD и DA: последняя сторона возвращает линию к начальной точке A. Замыкание необходимо, потому что именно оно создаёт границу многоугольника; без него фигура остаётся незаконченной ломаной.

Вершины записывают в порядке обхода границы: например, A, затем B, C и D. Тогда соседние буквы указывают на концы одной стороны: AB, BC и CD. После последней вершины снова берут первую, поэтому сторона DA тоже входит в обозначение; такой порядок избавляет от путаницы между сторонами и другими отрезками.

У четырёхугольника должно быть ровно четыре стороны, потому что сторонами называют отрезки его границы, а границу образуют четыре последовательных соединения. Если ломаная не замкнута, она не ограничивает многоугольник. Если сторон три или пять, число сторон не соответствует определению, поэтому такую фигуру нельзя назвать четырёхугольником.

Две вершины называют соседними, если их соединяет сторона; например, A и B в ABCD. Вершины A и C не соседние: между ними по границе находится B, поэтому отрезок AC является диагональю. При разборе рисунка проверяй, лежит ли отрезок на границе: если да, это сторона, а если он соединяет несоседние вершины внутри фигуры, это диагональ.

Четырёхугольники могут выглядеть по-разному: быть вытянутыми, широкими или иметь стороны неодинаковой длины. Но внешняя форма не меняет основного устройства: остаются четыре вершины, четыре стороны и порядок их соединения. Поэтому фигуру определяют не по сходству с квадратом или прямоугольником, а по числу точек и замкнутой границе.

Элементы четырёхугольника ABCD

Пользуйся таблицей, чтобы быстро различать точки-вершины и отрезки. Сначала посмотри, соединяет ли отрезок соседние вершины: если да, это сторона; если несоседние — диагональ. Для ABCD удобно проверять обозначения по порядку букв в названии.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены четыре точки A, B, C, D. Запишите обозначение четырёхугольника, если его стороны идут по порядку AB, BC, CD, DA. Нужно составить название так, чтобы каждая пара соседних букв соответствовала стороне. Начнём с A и пройдём границу в заданном порядке.

1. После A по стороне AB попадаем в B, значит, следующая буква — B.
2. По BC переходим к C, затем по CD — к D.
3. Последняя сторона DA возвращает к начальной вершине, поэтому запись замыкается.

Ответ: ABCD. Можно начать обход с другой вершины, если сохранять тот же порядок движения по границе, например, BCDA.

Задача 2. Для четырёхугольника KLMN назовите все стороны и диагонали. Сначала запишем вершины в порядке обхода, затем отделим соседние пары от несоседних. Такой способ надёжнее, чем перечислять отрезки наугад.

1. Соседние пары по границе — KL, LM, MN и NK; это стороны.
2. У K соседние вершины L и N, значит, несоседняя с ним вершина — M; получается диагональ KM.
3. Оставшаяся пара несоседних вершин — L и N, поэтому вторая диагональ — LN.

Ответ: стороны KL, LM, MN, NK; диагонали KM и LN. Проверка: у четырёхугольника должно получиться четыре стороны и две диагонали.

Задача 3. Даны несколько рисунков из четырёх точек и отрезков. Определите, какие фигуры являются четырёхугольниками, и объясните, почему остальные не подходят. Рассматривайте каждый рисунок отдельно и проверяйте признаки по очереди. Так легко заметить, чего именно не хватает неподходящей фигуре.

1. Посчитайте вершины и отрезки: их должно быть по четыре.
2. Проследите границу целиком: она должна быть замкнута, то есть последняя сторона возвращается к первой вершине.
3. Проверьте, что никакие три вершины не лежат на одной прямой.

Ответ: четырёхугольниками являются только фигуры, которые прошли все три проверки. Рисунок с незамкнутой границей, другим числом сторон или тремя вершинами на одной прямой определению не соответствует.

Типичные ошибки

Ошибка — называть диагональю отрезок между соседними вершинами. Так происходит, когда смотрят только на то, что отрезок проходит внутри нарисованной фигуры; но отрезок между соседними вершинами остаётся стороной. Проверь себя: если вершины соединены на границе, это сторона, а диагональ соединяет несоседние точки.

Ошибка — записывать вершины не по порядку обхода. Тогда соседние буквы в названии могут обозначать отрезок, которого нет среди сторон. Причина часто в том, что буквы перечисляют просто по алфавиту; для проверки пройди по границе и убедись, что каждый следующий переход соответствует стороне.

Ошибка — считать четырёхугольником незамкнутую ломаную. У неё действительно может быть четыре отрезка, но открытый конец не образует границу многоугольника. Проведи мысленно путь от первой точки до последней: если для возвращения к началу нужен ещё один отрезок, ломаная не замкнута.

Ошибка — путать вершины и стороны. Вершины — это точки, а стороны — отрезки между ними; смешение возникает, когда называют буквами и точки, и соединяющие их линии без уточнения. Проверь, что именно просят назвать: буква обозначает вершину, а запись из двух букв — сторону или диагональ.

Связь с другими темами

Для работы с четырёхугольником нужно знать, что такое точка, отрезок и ломаная, а также уметь обозначать фигуры буквами. Эти понятия помогают понять, из каких частей состоит его граница и как записывать её элементы. Позже определение и обозначения пригодятся при изучении видов четырёхугольников, их углов и диагоналей. Тогда можно будет рассматривать свойства отдельных фигур, опираясь на уже знакомые вершины и стороны.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре вершины и четыре стороны.
• Стороны соединяют соседние вершины.
• Вершины обычно перечисляют по порядку обхода фигуры.
• Последняя сторона соединяет последнюю и первую вершины.
• Диагонали соединяют несоседние вершины.
• У четырёхугольника две диагонали.