"Геометрия", Погорелов А.В.
Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. Его изучение помогает находить неизвестные углы и длины, а также распознавать фигуры с особыми свойствами. У любого четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°. Если противоположные стороны попарно параллельны, четырёхугольник называется параллелограммом: у него противоположные стороны и углы равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Четырёхугольник — фигура из четырёх точек и четырёх соединяющих их отрезков, которые образуют замкнутую линию. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами; обычно вершины обозначают по порядку буквами A, B, C, D, а фигуру — ABCD. Например, стороны такого четырёхугольника — AB, BC, CD и DA. Порядок букв показывает, какие вершины соединены сторонами.
Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. У четырёхугольника две диагонали: AC и BD. Соседние вершины соединены стороной, поэтому отрезок между ними не может быть диагональю. Диагонали нужны, чтобы разделять фигуру на треугольники и исследовать её углы и стороны.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В обозначении ABCD это значит, что AB параллельна CD, а BC параллельна AD. Противоположные стороны не имеют общей вершины. Такое определение помогает отличать параллелограмм от любого другого четырёхугольника и применять к нему дополнительные свойства.
В записи ABCD вершины перечисляют по порядку, обходя фигуру по её сторонам. Поэтому AB и BC — соседние стороны: они сходятся в точке B; AB и CD — противоположные, потому что не имеют общей вершины. Углы тоже называют соседними или противоположными по расположению их вершин. Такое различение нужно, чтобы точно формулировать свойства и не перепутать, какие элементы сравниваются.
Чтобы провести диагонали, соедините каждую вершину с несоседней: в ABCD проведите AC и BD. Одна диагональ, например AC, делит четырёхугольник на треугольники ABC и ACD. Обе диагонали пересекаются внутри выпуклого четырёхугольника и образуют четыре треугольника. Диагонали не добавляют новых сторон фигуры, а помогают изучать её части.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°, потому что диагональ разбивает его на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а вместе получаем 180° + 180° = 360°. При этом углы двух треугольников у концов диагонали составляют соответствующие углы четырёхугольника. Значит, сумма четырёх внутренних углов действительно равна 360°.
В параллелограмме противоположные стороны параллельны по определению. Если прямую пересечь параллельными прямыми, возникают равные углы, а некоторые соседние углы оказываются дополнительными: их сумма равна 180°. Эти правила позволяют сравнивать углы параллелограмма и доказывать его свойства. Поэтому параллельность сторон — не просто внешний признак, а основа рассуждений о фигуре.
Проведём диагональ параллелограмма: она разделит его на два треугольника. Из параллельности сторон следует равенство углов, прилежащих к диагонали; сама диагональ у треугольников общая. Поэтому треугольники равны, а соответствующие стороны и углы параллелограмма равны: противоположные стороны и углы равны. Для диагоналей применим тот же принцип к треугольникам, образованным при их пересечении: равные углы при параллельных сторонах и вертикальные углы дают равенство треугольников. Из этого следует, что точка пересечения делит каждую диагональ пополам.
| Признак или свойство | Четырёхугольник | Параллелограмм |
|---|---|---|
| Число сторон и вершин | 4 стороны и 4 вершины | 4 стороны и 4 вершины |
| Параллельность противоположных сторон | Не обязательна | Попарно параллельны |
| Сумма внутренних углов | 360° | 360° |
| Равенство противоположных сторон | Не обязательно | Равны попарно |
| Равенство противоположных углов | Не обязательно | Равны |
| Свойство диагоналей | Специальное свойство не задано | Точка пересечения делит каждую пополам |
Сначала сравните, какие свойства относятся ко всем четырёхугольникам, а какие — только к параллелограммам. Для решения задачи найдите в таблице нужный вид фигуры и используйте соответствующую строку. Если дан лишь четырёхугольник, нельзя автоматически применять свойства параллелограмма.
Найдите четвёртый угол четырёхугольника, если три его угла равны 70°, 95° и 110°. Ищем неизвестный угол через сумму всех четырёх углов: она равна 360°. Сложим известные углы и вычтем их сумму из 360°. Такой порядок помогает не забыть, что дано не все углы фигуры.
Ответ: четвёртый угол равен 85°.
В параллелограмме одна сторона равна 8 см, а соседняя — 5 см. Нужно найти две оставшиеся стороны. По определению у параллелограмма противоположные стороны параллельны, а его свойство позволяет заключить, что противоположные стороны равны. Значит, к каждой данной стороне можно подобрать равную ей противоположную.
Ответ: остальные стороны равны 8 см и 5 см.
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Одна диагональ равна 18 см, а от её конца до O — 7 см; длина другой диагонали равна 14 см. Нужно найти части обеих диагоналей. Точка пересечения является серединой каждой диагонали, поэтому у частей одной диагонали одинаковая длина. Сначала используем данную часть и проверим результат сложением.
Ответ: условия задачи противоречат друг другу. Если одна диагональ равна 18 см, её половины должны быть по 9 см, поэтому отрезок от конца до O не может равняться 7 см. Для согласованного условия вторая половина первой диагонали была бы 7 см только при длине всей диагонали 14 см.
Ошибка: считать любой четырёхугольник параллелограммом. Четыре стороны и четыре вершины определяют четырёхугольник, но для параллелограмма ещё требуется параллельность противоположных сторон. Такое смешение возникает, когда название фигуры принимают за указание на её свойства. Проверьте себя: можно ли подтвердить, что обе пары противоположных сторон параллельны?
Ошибка: называть диагональю отрезок между соседними вершинами. Его путают с диагональю, потому что он тоже соединяет две вершины. Однако соседние вершины соединены стороной, а диагональ связывает несоседние вершины. Чтобы проверить название, обойдите вершины по порядку: если между ними есть сторона фигуры, это не диагональ.
Ошибка: считать, что противоположные стороны равны у любого четырёхугольника. Такое свойство относится к параллелограмму и не следует из одного лишь наличия четырёх сторон. Его допускают, перенося знакомое свойство на более общий случай. Перед вычислением проверьте, сказано ли в условии, что фигура — параллелограмм.
Ошибка: путать соседние и противоположные углы параллелограмма. Соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны. Путаница меняет способ вычисления неизвестного угла. Проверьте расположение вершин: общая сторона означает соседние углы, а вершины напротив друг друга — противоположные.
Чтобы изучать четырёхугольники, нужно уметь обозначать точки, отрезки и углы, а также знать сумму углов треугольника. Она позволяет обосновать, почему сумма углов четырёхугольника составляет 360°. Для свойств параллелограмма понадобятся знания о параллельных прямых и образующихся при пересечении углах. Эти темы дают инструменты для вычислений и доказательств.
Свойства параллелограмма помогают находить неизвестные углы и длины сторон или диагоналей. Позже они пригодятся при изучении частных видов четырёхугольников. Новые фигуры будут обладать дополнительными признаками, но их свойства можно будет сопоставлять с уже знакомыми свойствами параллелограмма.
Как отличить диагональ четырёхугольника от его стороны?
Сторона соединяет соседние вершины, то есть те, которые идут подряд при обходе фигуры. Диагональ соединяет две несоседние вершины и проходит внутри четырёхугольника.
Почему сумма углов четырёхугольника равна 360°?
Проведите диагональ: она разделит четырёхугольник на два треугольника. В каждом сумма углов равна 180°, значит, вместе получается 180° + 180° = 360°.
Достаточно ли равенства противоположных сторон, чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм?
Если обе пары противоположных сторон равны, этого достаточно, чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом. Но равенства только одной пары сторон недостаточно: нужно учитывать, что в определении параллелограмма противоположные стороны должны быть попарно параллельны.
Как найти неизвестный угол параллелограмма?
Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, поэтому из 180° вычтите известный угол. Противоположный неизвестному угол равен ему.
Что означает, что диагонали параллелограмма делятся пополам?
Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому части одной диагонали равны между собой, и части другой диагонали тоже равны.
§ 6. Четырёхугольники
