42. Параллелограмм

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если его вершины обозначены A, B, C, D именно в таком порядке, пишут «параллелограмм ABCD». Название по порядку помогает не перепутать стороны и углы фигуры. Например, после AB в обходе идёт BC.

Противоположные стороны — это стороны четырёхугольника, у которых нет общей вершины. В параллелограмме ABCD такими парами будут AB и CD, а также AD и BC. Стороны AB и BC, напротив, соседние, потому что соединяются в точке B. Это различие нужно, чтобы правильно применять свойства фигуры.

Диагональ параллелограмма — отрезок, соединяющий две противоположные вершины. У параллелограмма ABCD две диагонали: AC и BD. Каждая диагональ делит четырёхугольник на две части. Диагонали понадобятся при доказательстве свойств и вычислении длин отрезков.

Противоположные углы параллелограмма — углы при противоположных вершинах. В ABCD это углы A и C, а также B и D. Например, углы A и B соседние, потому что находятся при вершинах A и B, соединённых стороной AB. Различая эти пары, легче определить, какие углы равны, а какие в сумме дают 180°.

Как это устроено

Проведём в параллелограмме ABCD диагональ AC: она образует треугольники ABC и CDA. Сторона AC у них общая, а углы BAC и ACD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. Так же равны углы BCA и CAD, поскольку BC параллельна AD. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, а их соответствующие стороны AB и CD, BC и AD равны.

Равенство этих же треугольников помогает объяснить равенство противоположных углов. Угол ABC одного треугольника соответствует углу CDA другого, поэтому углы B и D равны. Углы при вершинах A и C тоже оказываются равными: каждый состоит из двух частей, а соответствующие части равны в равных треугольниках. Так параллельность сторон приводит к равенству углов.

Соседние углы, например A и B, расположены по одну сторону от секущей AB, которая пересекает параллельные прямые AD и BC. Такие углы называют односторонними. При пересечении параллельных прямых секущей их сумма равна 180°. Поэтому, если известен один угол параллелограмма, соседний можно найти вычитанием его величины из 180°.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOB и COD: углы BAO и DCO равны как накрест лежащие при AB ∥ CD, а углы ABO и CDO равны по той же причине. Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, поэтому треугольники равны. Из равенства следует AO = OC и BO = OD: точка O делит каждую диагональ пополам.

Свойства можно применять вместе, выбирая то, которое связывает известное с искомым. Например, если известен один угол, соседний находят через сумму 180°, а противоположный — через равенство углов. Если известна половина диагонали, равенство её частей позволяет найти всю диагональ. Перед вычислением полезно отметить на чертеже, какие элементы противоположные, соседние или принадлежат одной диагонали.

Основные свойства параллелограмма

В таблице собраны свойства, которые можно использовать при решении задач. Сначала определите, какие именно элементы даны и какие нужно найти, затем выберите подходящую строку. Не переносите свойство одной пары элементов на другую: например, равны противоположные стороны, а не обязательно соседние.

Разбор задач

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см. Найдём CD. По обозначениям стороны AB и CD — противоположные, поэтому применяем свойство равенства противоположных сторон. Запишем решение по шагам, чтобы увидеть, откуда берётся ответ.

1. Определяем пару: AB и CD не имеют общей вершины.
2. Используем свойство параллелограмма: AB = CD.
3. Подставляем известное значение: CD = 7 см.

Ответ: CD = 7 см.

Один угол параллелограмма равен 68°. Найдём три остальных. Удобно обозначить известный угол буквой A: углы C и A противоположные, а B и D соседние с A. Сначала найдём соседние углы, затем используем равенство противоположных углов.

1. Противоположный угол C равен углу A, значит, C = 68°.
2. Соседние углы A и B в сумме дают 180°, поэтому B = 180° − 68° = 112°.
3. Угол D противоположен углу B, значит, D = 112°.

Ответ: три остальных угла равны 112°, 68° и 112°.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в O. Даны AO = 5 см и BO = 3 см; найдём AC и BD. Точка O делит каждую диагональ на две равные части. Поэтому для длины каждой диагонали складываем две одинаковые половины, то есть удваиваем известный отрезок.

1. Так как AO = OC, получаем AC = 2 · AO = 2 · 5 = 10 см.
2. Так как BO = OD, получаем BD = 2 · BO = 2 · 3 = 6 см.
3. Проверяем, что для каждой диагонали использована именно её половина: AO относится к AC, а BO — к BD.

Ответ: AC = 10 см, BD = 6 см.

Типичные ошибки

Иногда равными считают соседние стороны, например AB и BC. Их путают с противоположными, потому что обе пары состоят из сторон одной фигуры. Проверьте, есть ли у сторон общая вершина: у противоположных её нет. Равенство сторон относится к AB и CD, а также к AD и BC.

Другая ошибка — считать диагонали параллелограмма равными. Возможно, так думают, потому что диагонали пересекаются в одной точке и устроены похоже. Но общее свойство не требует равенства всей AC и BD: каждая диагональ делится пополам отдельно. Проверяйте, сравниваете ли вы целые диагонали или части одной диагонали.

Не следует полагать, что соседние углы равны: например, углы A и B в общем случае могут иметь разные величины. Эту ошибку допускают, смешивая соседние углы с противоположными. Для самопроверки сложите соседние углы: их сумма должна быть 180°, а равными должны быть углы A и C, B и D.

Если известна половина диагонали, иногда записывают её длину как длину всей диагонали. Причина — забывают, что отрезок от вершины до точки пересечения составляет только одну из двух равных частей. Проверьте, просят ли найти AC или только AO. Чтобы найти целую диагональ, умножьте длину половины на 2.

Связь с другими темами

Для изучения параллелограмма нужны знания о четырёхугольниках, углах и параллельных прямых. В частности, важно уметь находить накрест лежащие и односторонние углы при секущей: с их помощью объясняют свойства фигуры. Доказательство равенства сторон и углов опирается на равенство треугольников. Эти знания пригодятся дальше при изучении признаков параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата, а также при вычислении длин и углов.

Что запомнить

• У параллелограмма противоположные стороны параллельны.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.