§ 2. Параллелограмм и трапеция

Определения и обозначения

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Стороны называют противоположными, если они не имеют общей вершины. Например, в четырёхугольнике ABCD пары противоположных сторон — AB и CD, а также BC и AD. По определению для параллелограмма должны быть параллельны обе пары, поэтому одной пары недостаточно.

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Именно наличие этой пары параллельных сторон отличает трапецию от произвольного четырёхугольника. Две другие стороны при этом не параллельны. Определение помогает распознать фигуру даже тогда, когда чертёж выполнен не очень точно.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями. Они лежат напротив друг друга и задают ту пару сторон, по которой фигуру относят к трапециям. Например, если AB ∥ CD, то AB и CD — основания. Это название нужно, чтобы коротко и однозначно указывать стороны трапеции в задаче.

Непараллельные стороны трапеции называют боковыми сторонами. В примере с основаниями AB и CD боковыми будут AD и BC. Основания и боковые стороны нельзя определять по тому, какая сторона на рисунке выглядит верхней, нижней, длинной или короткой. Сначала проверяют параллельность, а затем называют стороны.

Как это устроено

Проведём диагональ AC параллелограмма ABCD. Получатся треугольники ABC и CDA, а диагональ будет их общей стороной. Так как AB ∥ CD и AD ∥ BC, диагональ AC пересекает пары параллельных прямых, поэтому соответствующие накрест лежащие углы равны. Значит, треугольники равны по стороне AC и двум прилежащим к ней углам.

У равных треугольников соответствующие стороны и углы равны. Из равенства ABC и CDA следует, что AB = CD и BC = AD: это пары противоположных сторон параллелограмма. Равны и соответствующие углы при вершинах A и C, а также при B и D. Поэтому противоположные углы параллелограмма равны, хотя их величины могут быть разными для разных пар.

Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD буквой O. Рассмотрим треугольники AOB и COD: вертикальные углы при O равны, а углы при A и C равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD. Кроме того, AB = CD, что уже следует из равенства треугольников, образованных диагональю. Значит, треугольники AOB и COD равны, а потому AO = OC и BO = OD: точка O делит каждую диагональ пополам.

Чтобы определить фигуру на чертеже, отметь пары противоположных сторон и выясни, какие из них параллельны. Если параллельны обе пары, это параллелограмм; если только одна — трапеция. Внешняя форма сама по себе не доказывает параллельность: рисунок может быть схематичным. В задачах ориентируйся на условие и обозначения параллельных прямых.

Свойства параллелограмма позволяют заменять неизвестные величины известными. Если нужно найти угол, сравни его с противоположным или соседним: противоположные углы равны, а соседние составляют 180°. Если ищут сторону, используй равенство противоположных сторон. Для диагоналей сначала найди половину или целую диагональ по равенству частей, на которые их делит точка пересечения.

Признаки и свойства параллелограмма и трапеции

Пользуйся таблицей, чтобы сначала сравнить параллельность сторон, а затем выбрать нужные свойства. Запись «не следует из определения» означает, что равенство или свойство нельзя утверждать только на основании того, что фигура является трапецией. Для решения задачи нужны дополнительные условия.

Разбор задач

Задача 1

В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а AD и BC не параллельны. Определите вид четырёхугольника и назовите его основания. Сначала нужно выяснить, сколько пар противоположных сторон параллельны. Это позволяет не спутать трапецию с параллелограммом.

1. По условию AB ∥ CD, значит, у четырёхугольника есть пара параллельных противоположных сторон. Стороны AD и BC не параллельны, поэтому второй параллельной пары нет. Следовательно, по определению перед нами трапеция.
2. Основания трапеции — именно параллельные стороны. Здесь это AB и CD, а AD и BC являются боковыми сторонами. Проверка названий простая: основания должны быть параллельны, боковые стороны — нет.

Ответ: трапеция; основания AB и CD.

Задача 2

В параллелограмме один угол равен 68°. Найдите остальные углы. Удобно сначала найти противоположный угол, а затем соседние: для них действуют разные свойства. Обозначим известный угол α = 68°.

1. Противоположный α угол равен ему, поэтому он тоже равен 68°. Это свойство относится именно к противоположным углам параллелограмма. Так мы нашли второй угол без вычислений.
2. Каждый из двух соседних углов вместе с углом 68° составляет 180°. Поэтому каждый равен 180° − 68° = 112°. Полученные значения согласуются с тем, что сумма углов любого четырёхугольника равна 360°: 68° + 112° + 68° + 112° = 360°.

Ответ: остальные углы равны 112°, 68° и 112°.

Задача 3

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Если AO = 5 см и BO = 7 см, найдите длины диагоналей. Точка O делит каждую диагональ пополам, поэтому данные отрезки — половины диагоналей. Чтобы получить целую диагональ, длину соответствующей половины нужно удвоить.

1. Так как AO = OC, диагональ AC равна AO + OC. Значит, AC = 5 + 5 = 10 см. Здесь использовано свойство деления диагоналей, а не предположение об их равенстве между собой.
2. Аналогично BO = OD, поэтому BD = BO + OD = 7 + 7 = 14 см. Диагонали получились разной длины, и это не противоречит свойствам параллелограмма. Каждая диагональ делится пополам отдельно.

Ответ: AC = 10 см, BD = 14 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллелограммом любой четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. Так думают, потому что это условие действительно подходит для трапеции. Проверь себя: у параллелограмма обязаны быть параллельны обе пары противоположных сторон.

Ошибка: путать основания и боковые стороны трапеции. На рисунке основанием часто кажется нижняя или самая длинная сторона, но расположение и длина не определяют название. Проверь, какие две стороны параллельны: это основания, а непараллельные стороны — боковые.

Ошибка: считать диагонали параллелограмма равными. Их части до точки пересечения и после неё равны на каждой диагонали, поэтому можно ошибочно перенести это равенство на две разные диагонали. Проверяй формулировку свойства: каждая диагональ делится пополам, но длины диагоналей между собой могут различаться.

Ошибка: считать равными соседние углы параллелограмма. Можно перепутать их с противоположными, которые действительно равны. Для проверки используй параллельность сторон: соседние углы — внутренние односторонние, поэтому их сумма равна 180°, а равными они будут только при дополнительных условиях.

Связь с другими темами

Для доказательства свойств параллелограмма нужны знания о параллельных прямых, признаках равенства треугольников и сумме углов треугольника. Эти инструменты помогают объяснить, почему равны стороны и углы, а не просто запомнить готовые утверждения. Позже свойства параллелограмма пригодятся при изучении прямоугольника, ромба и квадрата: это фигуры с дополнительными условиями. Тема также помогает решать задачи на углы и стороны четырёхугольников.

Что запомнить

• У параллелограмма обе пары противоположных сторон параллельны.
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна.
• Параллельные стороны трапеции называют основаниями.