§ 14. Параллелограмм и трапеция

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его вершины обычно обозначают буквами по порядку обхода, например ABCD: AB и CD — одна пара противоположных сторон, BC и AD — другая. Определение позволяет сразу отличить параллелограмм от фигур, у которых параллельна только одна пара сторон.

Трапеция — четырёхугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называют основаниями, а две остальные — боковыми сторонами. Такое разделение удобно: многие свойства трапеции и формулы используют именно длины оснований.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Середина делит сторону на два равных отрезка, поэтому для построения средней линии нужно отметить середины именно боковых сторон, а не оснований. Она помогает находить расстояния между основаниями и решать задачи на длины.

Признак параллелограмма — условие, по которому можно доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом. Например, если его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырёхугольник — параллелограмм. Признаки нужны, когда параллельность сторон не дана, но известны другие свойства фигуры.

Как это устроено

Рассмотрим параллелограмм ABCD и проведём диагональ AC. Прямые AB и CD параллельны, поэтому углы BAC и ACD равны как накрест лежащие. Углы BCA и CAD равны по той же причине, так как BC параллельна AD. Сторона AC общая, значит, треугольники BAC и DCA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам; отсюда AB = CD и BC = AD.

Равенство углов параллелограмма тоже следует из параллельности сторон. Например, диагональ AC образует равные накрест лежащие углы, а вместе с равенством треугольников это даёт равенство противоположных углов A и C. Соседние углы лежат по одну сторону секущей при параллельных прямых: такие углы в сумме составляют 180°. Поэтому если известен один угол, соседний можно найти вычитанием его величины из 180°.

Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD буквой O. Из-за параллельности AB и CD углы BAO и DCO равны как накрест лежащие, а углы ABO и CDO равны по той же причине. Кроме того, AB = CD — это уже следует из свойства противоположных сторон. Значит, треугольники AOB и COD равны, поэтому AO = OC и BO = OD. Итак, точка пересечения делит каждую диагональ пополам.

Свойства сторон и диагоналей можно использовать и в обратную сторону — как признаки. Если противоположные стороны попарно равны, проведённая диагональ образует два равных треугольника, из равенства которых следуют равные накрест лежащие углы и параллельность сторон. Если одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна, диагональ снова даёт равные треугольники, а значит, и параллельность второй пары. Наконец, если диагонали делятся точкой пересечения пополам, образуются пары равных треугольников; из равенства соответствующих углов следует параллельность противоположных сторон.

Пусть средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Проведём диагональ: в одном из образовавшихся треугольников отрезок между серединами двух сторон параллелен третьей стороне и равен её половине — это теорема о средней линии треугольника. Аналогично рассмотрим другой треугольник. Получается, что средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям, а её длина складывается из половин оснований: m = (a + b) / 2.

Основные свойства и признаки параллелограмма и трапеции

Сначала найдите в условии данные о сторонах, углах или диагоналях, затем выберите соответствующую строку таблицы. Для трапеции при поиске средней линии используйте длины оснований, а для параллелограмма — признаки, если нужно установить вид четырёхугольника. Таблица помогает не смешивать свойства с признаками: свойство применяют к уже известной фигуре, признак — чтобы её распознать.

Разбор задач

Задача 1

В параллелограмме ABCD угол A равен 65°, а сторона AB равна 8 см. Найдите углы B, C, D и сторону CD. Нужно связать каждую неизвестную величину с тем свойством, которое для неё подходит. Углы A и C противоположные, а B и D соседние с A.

1. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому ∠C = ∠A = 65°.
2. Соседние углы в сумме дают 180°, значит, ∠B = 180° − 65° = 115°.
3. Угол D противоположен углу B, поэтому ∠D = 115°.
4. Противоположные стороны равны: CD = AB = 8 см.

Ответ: ∠B = 115°, ∠C = 65°, ∠D = 115°, CD = 8 см. Проверка: сумма четырёх углов равна 65° + 115° + 65° + 115° = 360°, как и должна у любого четырёхугольника. Длина CD совпадает с длиной AB, поскольку это противоположные стороны параллелограмма.

Задача 2

Докажите, что если в четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм. Обозначим точку пересечения диагоналей через O. По условию AO = OC и BO = OD, а вертикальные углы AOB и COD равны.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них равны две стороны: AO = OC и BO = OD.
2. Углы AOB и COD равны как вертикальные, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов, например BAO = DCO. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD, значит, AB параллельна CD.
4. Аналогично равенство треугольников AOD и COB даёт AD параллельна BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, значит, по определению ABCD — параллелограмм. Использовать признак через диагонали можно было бы и сразу, но доказательство показывает, откуда он берётся. Ответ: ABCD является параллелограммом.

Задача 3

Основания трапеции равны 7 см и 15 см. Найдите её среднюю линию. Затем определите второе основание, если средняя линия равна 12 см, а одно основание — 9 см. В обоих случаях применяем одно соотношение: средняя линия равна полусумме оснований. Сначала подставим известные длины, затем выразим неизвестное основание.

1. В первом случае m = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11 см.
2. Во втором случае обозначим неизвестное основание через x. По формуле 12 = (9 + x) / 2.
3. Умножим обе части равенства на 2: 24 = 9 + x.
4. Вычтем 9: x = 15 см.

Ответ: средняя линия первой трапеции равна 11 см, второе основание во второй задаче — 15 см. Проверка второго результата: полусумма 9 и 15 равна 12. В задаче важно не принять среднюю линию за сумму оснований: она составляет ровно половину этой суммы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать параллелограммом любой четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. Такое случается, потому что параллелограмм и трапеция оба связаны с параллельностью, но у них разные определения. Проверьте обе пары противоположных сторон: если параллельна только одна пара, этого недостаточно для параллелограмма.

Ошибка — считать соседние углы параллелограмма равными. Обычно путают соседние и противоположные углы: равны именно противоположные, а соседние в сумме дают 180°. Проверьте результат сложением: если два соседних угла не дают 180°, вычисление неверно.

Ошибка — утверждать, что диагонали параллелограмма равны. Это заключение переносят с прямоугольника на все параллелограммы, хотя общее свойство другое: диагонали делятся точкой пересечения пополам. При проверке разделите каждую диагональ на две части и сравните их, а не длины диагоналей между собой.

Ошибка — называть средней линией трапеции отрезок между серединами оснований. Вероятно, здесь путают название средней линии с её положением внутри фигуры. Проверьте, какие стороны отрезок пересекает: он должен соединять середины боковых сторон и быть параллельным основаниям.

Связь с другими темами

Для доказательств в этой теме нужны свойства параллельных прямых: например, равенство накрест лежащих углов. Также понадобятся признаки равенства треугольников, позволяющие сравнивать части четырёхугольника. Свойство средней линии трапеции выводится из теоремы о средней линии треугольника.

Параллелограмм служит основой для изучения прямоугольника, ромба и квадрата: у этих фигур есть дополнительные свойства. Знание сторон и углов пригодится при вычислении площадей и в задачах на доказательство. Трапеции встречаются также в задачах на координаты, длины отрезков и построение геометрических фигур.

Что запомнить

• В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны и равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние углы в сумме дают 180°.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• Трапеция имеет одну пару параллельных сторон — оснований.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
• Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований: m = (a + b) / 2.