53. Свойства параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его обозначают вершинами, записанными по порядку: ABCD, поэтому AB ∥ CD и BC ∥ AD. Такое обозначение сразу показывает, какие стороны являются противоположными.

Противоположные стороны — стороны, не имеющие общей вершины, например AB и CD или BC и AD. Противоположные углы — углы, не имеющие общей стороны: ∠A и ∠C, ∠B и ∠D. Эти пары нужны, чтобы правильно применять свойства равенства.

Диагонали параллелограмма — отрезки, соединяющие его противоположные вершины. В параллелограмме ABCD это AC и BD, а не стороны AB, BC, CD и AD. Диагонали помогают разделить фигуру на треугольники и исследовать её внутреннее строение.

Смежные углы имеют общую сторону и общую вершину. В ABCD смежными будут, например, ∠A и ∠B, ∠B и ∠C, ∠C и ∠D, ∠D и ∠A. Их рассматривают вместе, потому что при параллельных сторонах их сумма всегда равна 180°.

Как это устроено

Проведём диагональ AC в параллелограмме ABCD. Она разделит четырёхугольник на треугольники ABC и CDA, потому что соединяет вершины A и C и проходит внутри фигуры. Проведение другой диагонали BD аналогично образует треугольники ABD и BCD.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Так как AB ∥ CD, углы BAC и DCA равны как накрест лежащие, а из BC ∥ AD следуют равенства углов BCA и CAD. Сторона AC общая, поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников ABC и CDA следуют равенства соответствующих сторон AB = CD и BC = AD. Также равны соответствующие углы параллелограмма: ∠A = ∠C. Если рассмотреть другую диагональ, получится и равенство ∠B = ∠D.

Соседние углы, например ∠A и ∠B, являются односторонними углами при параллельных прямых AB и CD, пересечённых секущей AD. Односторонние углы в таком случае дополняют друг друга до развёрнутого угла. Поэтому ∠A + ∠B = 180°, и так же можно рассуждать для любой соседней пары.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. В треугольниках AOB и COD углы AOB и COD равны как вертикальные, а углы OAB и OCD равны как накрест лежащие при AB ∥ CD. Стороны AB и CD равны, значит, треугольники равны, откуда AO = OC и BO = OD: точка O делит обе диагонали пополам.

Основные свойства параллелограмма

Таблица помогает выбрать нужное правило по данным задачи. Сначала определите, о чём спрашивается: о сторонах, углах или диагоналях. Затем запишите соответствующее равенство или сумму и подставьте известные значения.

Разбор задач

Задача 1

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 7 см, а сторона BC — 4 см. Требуется найти CD и AD. Здесь известны две стороны, и каждая из них имеет противоположную сторону. Поэтому достаточно применить свойство равенства противоположных сторон.

1. Стороне AB противоположна сторона CD, значит, CD = AB = 7 см.
2. Стороне BC противоположна сторона AD, значит, AD = BC = 4 см.
3. Проверяем соответствие пар: AB и CD, BC и AD действительно не имеют общих вершин.

Ответ: CD = 7 см, AD = 4 см.

Задача 2

Один угол параллелограмма равен 68°. Пусть это ∠A. Противоположный ему угол ∠C равен 68°, а два соседних угла должны дополнить его до 180°. Так находятся все четыре угла, а не только один неизвестный.

1. По равенству противоположных углов: ∠C = ∠A = 68°.
2. По свойству соседних углов: ∠B = 180° − 68° = 112°.
3. Противоположный угол равен ему: ∠D = ∠B = 112°.

Ответ: ∠A = ∠C = 68°, ∠B = ∠D = 112°.

Задача 3

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O; AO = 5 см и BO = 3 см. Нужно найти полные диагонали AC и BD. Точка O является серединой каждой диагонали, поэтому данные отрезки составляют только половины диагоналей.

1. Так как AO = OC, то AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 см.
2. Так как BO = OD, то BD = BO + OD = 3 + 3 = 6 см.
3. Можно выполнить проверку: каждая найденная диагональ вдвое больше соответствующей половины.

Ответ: AC = 10 см, BD = 6 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что все стороны параллелограмма равны. Так бывает у ромба, но для обычного параллелограмма равны только противоположные стороны. Проверьте себя, составив пары без общей вершины: AB с CD, а BC с AD.

Ошибка: считать равными все углы. У параллелограмма равны противоположные углы, а соседние имеют сумму 180°, поэтому при угле 68° соседний равен 112°. Для проверки найдите сначала противоположный, затем соседний угол.

Ошибка: путать диагонали со сторонами и неверно называть AC или BD. Диагональ соединяет противоположные вершины, поэтому в ABCD это AC и BD, а стороны соединяют соседние вершины. Проверьте, есть ли у названного отрезка общая сторона фигуры.

Ошибка: забывать удваивать отрезок от вершины до точки пересечения диагоналей. Равенство AO = OC означает, что AO — лишь половина AC, а не вся диагональ. Если известно AO или BO, умножьте эту длину на 2.

Связь с другими темами

До изучения свойств параллелограмма нужно знать признаки равенства треугольников, свойства параллельных прямых и виды углов. Именно эти знания объясняют, почему диагональ образует равные треугольники, а соседние углы дают 180°.

Полученные свойства используются при изучении прямоугольника, ромба и квадрата, которые являются особыми видами параллелограмма. Они также помогают решать задачи на доказательство равенства отрезков, углов и треугольников.

Что запомнить

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• Для обозначения параллелограмма используют вершины, записанные по порядку.