51. Четырёхугольник

Определения и обозначения

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. Его обычно обозначают четырьмя заглавными буквами, например ABCD. Буквы перечисляют в порядке обхода границы, чтобы по обозначению сразу было понятно, какие точки соединены сторонами.

Вершины — точки, в которых сходятся стороны, а стороны — отрезки, образующие границу четырёхугольника. В ABCD вершины A и B соседние, потому что их соединяет сторона AB; вершины A и C несоседние. Это различие нужно, чтобы не перепутать стороны с диагоналями.

Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. В четырёхугольнике ABCD такими парами являются A и C, B и D, поэтому диагонали — AC и BD. Других пар несоседних вершин нет, значит, диагоналей ровно две.

Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Если хотя бы для одной стороны части фигуры оказываются по разные стороны такой прямой, четырёхугольник невыпуклый. Это понятие важно, потому что известное правило о сумме внутренних углов применяется к выпуклой фигуре.

Как это устроено

Вершины перечисляют по порядку обхода границы, потому что каждая следующая буква тогда указывает на соседнюю вершину. Для ABCD стороны идут как AB, BC, CD и DA, то есть последняя сторона замыкает границу. Если записать буквы не по порядку, обозначение может запутать: отрезок между соседними вершинами ошибочно примут за диагональ.

Проведём диагональ AC в выпуклом четырёхугольнике ABCD. Она соединяет противоположные вершины и проходит внутри фигуры, поэтому граница разбивается на две части: получаются треугольники ABC и ACD. Каждый треугольник имеет три вершины и собственную границу из трёх отрезков, так что диагональ помогает изучать четырёхугольник с помощью уже знакомых свойств треугольников.

Из этого следует сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника. В треугольниках ABC и ACD сумма углов равна соответственно 180° и 180°, а все их углы вместе составляют внутренние углы четырёхугольника. Углы при A и C просто разделены диагональю на части, поэтому при сложении части восстанавливаются целые углы. Получаем 180° + 180° = 360°.

Выпуклость можно проверить по расположению фигуры относительно прямых, содержащих её стороны. У выпуклой фигуры внутренняя область не «выступает» за такую прямую и диагонали проходят внутри. У невыпуклой есть вогнутая часть: для одной из сторон точки фигуры могут оказаться по разные стороны от прямой. Поэтому прежде чем использовать сумму внутренних углов, нужно определить, какая фигура изображена и какие именно углы рассматриваются.

Противоположные стороны и углы определяются по тому, есть ли у них общий элемент. Стороны AB и CD противоположны, поскольку не имеют общей вершины; так же противоположны BC и AD. Углы A и C противоположны, поскольку не имеют общей стороны, как и углы B и D. Соседние стороны, напротив, сходятся в одной вершине, а соседние углы имеют общую сторону.

Элементы и основные свойства четырёхугольника

Пользуйся таблицей, чтобы быстро проверить число элементов и вспомнить, как они определяются. Если ищешь диагональ, сначала найди несоседние вершины, а не просто любые две точки. Правило о сумме углов применяй именно к внутренним углам выпуклого четырёхугольника.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечен четырёхугольник ABCD. Нужно назвать его вершины, стороны, диагонали и пары противоположных сторон. Сначала читаем буквы по порядку обхода границы: это помогает определить соседние вершины. Затем отдельно проверяем, какие вершины не соединены стороной.

1. Вершины фигуры — A, B, C и D.
2. Последовательные пары букв задают стороны: AB, BC, CD и DA.
3. Несоседние вершины — A и C, B и D, поэтому диагонали AC и BD.
4. Стороны без общей вершины образуют пары AB и CD, BC и AD.

Ответ: стороны AB, BC, CD, DA; диагонали AC, BD; противоположные стороны AB и CD, BC и AD. Такой порядок действий позволяет не перепутать диагональ со стороной.

Задача 2. Три угла выпуклого четырёхугольника равны 75°, 110° и 95°. Найдём четвёртый угол. Условие о выпуклости позволяет использовать сумму внутренних углов 360°; неизвестный угол дополняет сумму трёх данных углов до 360°.

1. Сложим известные углы: 75° + 110° + 95° = 280°.
2. Вычтем полученную сумму из 360°: 360° − 280° = 80°.
3. Проверим результат: 280° + 80° = 360°.

Ответ: четвёртый угол равен 80°. Проверка подтверждает, что все четыре угла в сумме дают требуемые 360°.

Задача 3. В выпуклом ABCD проведена диагональ AC; ∠BAC = 32°, ∠CAD = 48°, ∠B = 87°. Требуется найти ∠D. По имеющимся данным определить его однозначно нельзя: известны два угла при A и угол B, но не задан угол ACD или другая величина, которая позволила бы найти угол C треугольника ACD.

1. Сложим части угла A: ∠DAB = 32° + 48° = 80°.
2. Из суммы углов выпуклого четырёхугольника получаем ∠C + ∠D = 360° − 80° − 87° = 193°.
3. Для нахождения ∠D отдельно нужно знать ∠C или получить дополнительное условие. Одно равенство для двух неизвестных углов не задаёт единственного ответа.

Ответ: данных недостаточно; известно только, что ∠C + ∠D = 193°. Эта проверка условия важна: нельзя придумывать недостающий угол и выдавать полученный результат за единственный.

Типичные ошибки

• Называть диагональю сторону — отрезок между соседними вершинами. Это происходит, если не проследить порядок букв по границе. Проверь себя: у концов диагонали между ними должна быть ещё одна вершина по каждой из двух сторон обхода.
• Считать противоположными стороны с общей вершиной. Их часто путают с парами сторон, которые просто нарисованы напротив друг друга. Убедись, что у противоположных сторон нет общей вершины: например, AB и CD противоположны, а AB и BC — соседние.
• Использовать сумму 360° для любого четырёхугольника, не выяснив, выпуклый ли он и какие углы даны. Ошибка возникает из-за запоминания формулы без условий применения. Сначала проверь выпуклость и то, что речь идёт о внутренних углах фигуры.
• Путать порядок вершин и из-за этого принимать за диагональ отрезок между соседними вершинами. Такое случается, когда буквы читают не вдоль границы. Проследи замкнутый обход ABCD: AB, BC, CD, DA — стороны, а AC и BD — диагонали.

Связь с другими темами

Для изучения четырёхугольника нужно знать, что такое многоугольник, его вершины, стороны и углы. Также пригодится сумма углов треугольника: именно через два треугольника, на которые диагональ делит выпуклую фигуру, получают сумму 360°. Если эти понятия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить их и потренироваться на треугольниках.

Четырёхугольник — основа для изучения параллелограмма, прямоугольника, ромба и трапеции: это виды четырёхугольников с дополнительными свойствами. Умение находить диагонали и связывать углы пригодится в задачах на эти фигуры. Оно также помогает проверять, достаточно ли условий задачи для нахождения неизвестного элемента.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре вершины и четыре стороны.
• У четырёхугольника две диагонали.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• У выпуклого четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°.
• Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.
• Противоположные стороны и углы не являются соседними.