50. Выпуклый многоугольник

Определения и обозначения

Выпуклый многоугольник — многоугольник, который вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки. Иначе говоря, у такой фигуры нет «впадины», из-за которой часть отрезка оказалась бы снаружи. Это свойство позволяет рассматривать диагонали как отрезки, проходящие внутри фигуры. Оно также помогает отличить выпуклый многоугольник от невыпуклого.

Внутренний угол многоугольника — угол, образованный двумя сторонами при вершине и лежащий внутри многоугольника. Например, в треугольнике внутренних углов три — по одному у каждой вершины. Такие углы изучают, чтобы находить их общую сумму или вычислять неизвестный угол. При подсчёте важно брать именно область внутри фигуры.

Внешний угол многоугольника — угол, смежный с внутренним углом при той же вершине; его величина зависит от выбранного направления продолжения стороны. Смежные углы образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Внешний угол нужен, в частности, для изучения поворотов при обходе границы многоугольника. При подсчёте суммы выбирают по одному внешнему углу у каждой вершины.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Соседние вершины уже соединены стороной, поэтому отрезок между ними диагональю не считается. Диагонали позволяют разделить многоугольник на более простые фигуры — треугольники. Благодаря этому можно находить сумму его внутренних углов.

Как это устроено

У выпуклого многоугольника любая диагональ находится внутри фигуры. Её концы — две вершины, то есть точки многоугольника, а выпуклая фигура содержит отрезок между любыми двумя своими точками. Значит, отрезок между несоседними вершинами не может выйти наружу. Именно здесь используется определение выпуклости, а не только внешний вид многоугольника.

Выберем вершину выпуклого n-угольника и проведём из неё диагонали ко всем несоседним вершинам. Эти диагонали не пересекаются внутри многоугольника: они выходят из одной точки и ведут к вершинам, расположенным по порядку вдоль границы. В результате вся фигура разбивается на треугольники. Их число равно n−2: при добавлении каждой новой стороны к многоугольнику число таких треугольников увеличивается на один.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n−2)·180°. Причина в том, что диагонали из одной вершины разбили фигуру на n−2 треугольника, а сумма углов каждого треугольника равна 180°. Углы получившихся треугольников вместе составляют все внутренние углы многоугольника. Поэтому достаточно умножить число треугольников на 180°.

Внутренний угол и смежный с ним внешний образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен 180°, поэтому внешний угол получают вычитанием внутреннего из 180°. Например, если внутренний угол равен 125°, смежный внешний равен 180° − 125° = 55°. Выбранное продолжение стороны определяет, какой именно внешний угол рассматривается при вершине.

Если взять по одному внешнему углу у каждой вершины выпуклого многоугольника, их сумма составит 360°. При переходе от одной стороны к следующей направление движения поворачивается на величину внешнего угла. После полного обхода границы направление возвращается к исходному, то есть совершается полный оборот. Полный оборот равен 360°, поэтому такой же будет сумма выбранных внешних углов.

Углы выпуклого многоугольника

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посчитай стороны многоугольника, а затем найди подходящую строку. Для n-угольника подставь число сторон вместо n: так получишь число треугольников и сумму внутренних углов. Сумма внешних углов остаётся равной 360° при любом числе сторон.

Разбор задач

Задача 1. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого шестиугольника? Нужно отделить диагонали от сторон: выбранную вершину нельзя соединить диагональю саму с собой, а две соседние вершины уже соединены с ней сторонами. Поэтому считаем только оставшиеся вершины.

1. У шестиугольника всего 6 вершин.
2. Исключаем выбранную вершину и две соседние с ней: 6 − 3 = 3.
3. С каждой из трёх оставшихся вершин выбранную вершину можно соединить диагональю.

Ответ: из одной вершины можно провести 3 диагонали. Проверка по общей записи даёт тот же результат: n−3 = 6−3 = 3.

Задача 2. Найдите сумму внутренних углов выпуклого восьмиугольника. Для этого используем формулу (n−2)·180°. Она подходит потому, что диагонали из одной вершины делят выпуклый многоугольник на n−2 треугольника. Восьмиугольник при таком разбиении даст 8−2 = 6 треугольников.

1. Подставляем n = 8 в формулу: (8−2)·180°.
2. Вычисляем число треугольников: 8−2 = 6.
3. Умножаем сумму углов одного треугольника на их количество: 6·180° = 1080°.

Ответ: сумма внутренних углов выпуклого восьмиугольника равна 1080°. При проверке полезно убедиться, что число треугольников на два меньше числа сторон.

Задача 3. В выпуклом пятиугольнике четыре внутренних угла равны 100°, 120°, 130° и 140°. Найдите пятый внутренний угол и смежный с ним внешний угол. Сначала находим общую сумму углов пятиугольника, затем вычитаем из неё известные углы. После этого используем свойство смежных углов для нахождения внешнего.

1. Сумма внутренних углов пятиугольника: (5−2)·180° = 540°.
2. Складываем четыре известных угла: 100° + 120° + 130° + 140° = 490°.
3. Вычитаем их сумму из 540°: 540° − 490° = 50°. Это пятый внутренний угол.
4. Смежный внешний угол равен 180° − 50° = 130°.

Ответ: пятый внутренний угол равен 50°, а смежный с ним внешний — 130°. Проверка: их сумма составляет 180°, как и должно быть у смежных углов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать выпуклым любой многоугольник. Её допускают, если судят только по тому, что фигура замкнута и состоит из отрезков. Но у невыпуклой фигуры найдутся две точки, соединяющий отрезок между которыми выйдет наружу. Проверь себя по определению: отрезок между любыми двумя точками должен целиком оставаться внутри.

Ошибка: проводить диагонали из выбранной вершины к соседним вершинам. Часто диагональю называют любой отрезок между вершинами, забывая, что соседние уже соединены сторонами. Диагональ связывает именно несоседние вершины. Для проверки исключи выбранную вершину и двух её соседей: оставшиеся вершины дают концы диагоналей.

Ошибка: использовать для суммы углов формулу n·180° вместо (n−2)·180°. Так может случиться, если ученик умножает число сторон на сумму углов треугольника и не учитывает разбиение. Из одной вершины образуется не n, а n−2 треугольника. Проверь результат на треугольнике: при n = 3 формула должна дать 180°, а не 540°.

Ошибка: считать сумму внешних углов равной 180°. Число 180° относится к паре смежных углов при одной вершине, а не к сумме внешних углов всего многоугольника. При обходе границы направления сторон совершают полный оборот, равный 360°. Проверь, не перепутаны ли сумма углов при одной вершине и сумма по одному внешнему углу у каждой вершины.

Связь с другими темами

Для изучения выпуклых многоугольников нужно знать, что такое многоугольник и его вершины, а также различать углы. Особенно пригодится свойство смежных углов: их сумма равна 180°, поэтому по внутреннему углу можно найти внешний. Полученные формулы помогают находить неизвестные углы в многоугольниках, когда известны остальные. Позже эти знания пригодятся при изучении правильных многоугольников, у которых стороны и углы обладают дополнительными свойствами.

Что запомнить

• Выпуклый многоугольник содержит отрезок, соединяющий любые две его точки.
• Диагонали выпуклого многоугольника лежат внутри него.
• Диагонали из одной вершины n-угольника разбивают его на n−2 треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n−2)·180°.
• Внутренний и смежный внешний углы в сумме дают 180°.
• Сумма по одному внешнему углу при каждой вершине выпуклого многоугольника равна 360°.