"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Выпуклый многоугольник — фигура, которая целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую её сторону. Это свойство позволяет провести из одной вершины диагонали и разделить многоугольник на треугольники. Так мы получаем формулу для суммы внутренних углов: 180°(n − 2), где n — число сторон. С ней можно находить сумму углов, а также определять число сторон по известной сумме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выпуклый многоугольник — многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Иначе говоря, если продолжить любую сторону в обе стороны, вся фигура останется в одной из полуплоскостей этой прямой. Это определение нужно, чтобы отличать выпуклые фигуры от многоугольников с «впадиной» и применять к ним правило о разбиении на треугольники.
Внутренний угол многоугольника — угол, образованный двумя сторонами с общей вершиной и расположенный внутри многоугольника. Его стороны совпадают со сторонами многоугольника, а вершина — с одной из его вершин. Понятие внутреннего угла нужно, чтобы точно определить, какие углы складывают, когда находят сумму углов фигуры.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его вершины, не являющиеся соседними. Соседние вершины уже соединены стороной, поэтому такой отрезок диагональю не считается. Диагонали помогают разделять многоугольник на более простые фигуры — треугольники, углы которых мы умеем складывать.
Определение выпуклости проверяют отдельно для каждой стороны, потому что оно относится к прямой, содержащей именно эту сторону. Такая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Если весь многоугольник находится в одной из них, сторона не образует «впадину» внутрь фигуры. Когда условие выполняется для всех сторон, многоугольник выпуклый.
Выберем одну вершину выпуклого многоугольника и соединим её диагоналями с несоседними вершинами. Диагональ не выходит за границу фигуры: выпуклость означает, что отрезок между точками внутри или на границе многоугольника остаётся внутри него. Поэтому диагонали образуют внутри фигуры треугольники и не разрезают её за пределы контура.
Если у многоугольника n вершин, из выбранной вершины нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним вершинам. Оставшиеся вершины соединяются с ней диагоналями, которые последовательно отделяют треугольники. У треугольника получается один такой участок, у каждого следующего добавленного угла число участков возрастает на один. В результате число треугольников равно n − 2.
Внутренние углы этих треугольников вместе составляют все внутренние углы исходного многоугольника. Перекрытий нет: диагонали лишь делят его внутреннюю область на части, а углы на границе частей складываются в исходные углы. Каждый треугольник имеет сумму углов 180°, поэтому для n − 2 треугольников сумма равна 180°(n − 2).
Формула даёт для треугольника 180°(3 − 2) = 180°, а для четырёхугольника — 180°(4 − 2) = 360°. Эти случаи можно использовать для проверки вычисления: в первом получается сумма углов одного треугольника, во втором — двух. Если ответ не совпал, проверьте число сторон и действие в скобках.
| Многоугольник | Число сторон n | Число треугольников при разбиении из одной вершины | Сумма внутренних углов |
|---|---|---|---|
| Треугольник | 3 | 1 | 180° |
| Четырёхугольник | 4 | 2 | 360° |
| Пятиугольник | 5 | 3 | 540° |
| Выпуклый n-угольник | n | n − 2 | 180°(n − 2) |
Найдите в таблице строку с нужным числом сторон: число треугольников на два меньше, а сумма углов равна 180°, умноженным на это число. Последняя строка подходит для любого выпуклого многоугольника с n сторонами. Для проверки подстановки сравните результат со знакомыми частными случаями: треугольником или четырёхугольником.
Нужно найти сумму углов, поэтому сначала определяем число сторон: у пятиугольника n = 5. При разбиении из одной вершины получатся 5 − 2 = 3 треугольника. Это подсказывает, что искомая сумма должна быть втрое больше суммы углов одного треугольника.
Ответ: 540°.
Здесь неизвестно n, а сумма углов известна. Вместо подстановки числа сторон составим уравнение по формуле. Решение должно дать целое число сторон, иначе условие или вычисления требуют проверки.
Ответ: 9 сторон.
Количество треугольников уже дано, поэтому сначала связываем его с числом сторон. При разбиении из одной вершины треугольников на два меньше, чем сторон. Затем найденное число сторон подставляем в формулу суммы углов, чтобы получить второй ответ.
Ответ: 9 сторон, сумма внутренних углов — 1260°.
Ошибка: считать выпуклым любой многоугольник. Её допускают, если судят только по внешнему виду и не проверяют определение. У фигуры с «впадиной» прямая, содержащая одну из сторон, может оставить части многоугольника по разные стороны. Проверяйте полуплоскости для каждой стороны, а не для одной наугад.
Ошибка: считать, что из одной вершины получается n или n − 1 треугольник. Так бывает, если не учесть вершину, от которой проводят диагонали, и две соседние вершины: к ним диагонали не нужны. Проверьте правило на четырёхугольнике: его диагональ делит фигуру на 2 треугольника, то есть на 4 − 2.
Ошибка: подставить в формулу неверное число сторон. Можно перепутать стороны с диагоналями или неверно пересчитать вершины на рисунке. Сначала обойдите контур и посчитайте только отрезки границы; их число совпадает с числом вершин. Затем проверьте подстановку по простой фигуре, например по четырёхугольнику.
Ошибка: приравнять сумму углов любого многоугольника к 180°. Число 180° — сумма углов одного треугольника, а не всей фигуры, состоящей из нескольких частей. Посчитайте получающиеся треугольники и умножьте их число на 180°. Если сторон больше трёх, сумма должна быть больше 180°.
Для этой темы нужны понятия многоугольника, его вершин и сторон: без них нельзя определить, что именно считать и откуда проводить диагонали. Также используется свойство углов треугольника: их сумма равна 180°, и именно оно лежит в основе формулы для многоугольника. Позже формула поможет решать задачи на углы многоугольников, в том числе правильных: зная число сторон, можно найти сумму углов и работать с отдельными углами. Проверка выпуклости остаётся важным шагом перед применением рассуждения с диагоналями.
Как понять, что многоугольник выпуклый?
Проверьте каждую его сторону: проведите прямую через неё и посмотрите, лежит ли весь многоугольник в одной из полуплоскостей этой прямой. Если это верно для каждой стороны, многоугольник выпуклый. Если хотя бы для одной стороны части фигуры оказываются по разные стороны от прямой, он не выпуклый.
Почему при разбиении из одной вершины получается n − 2 треугольника?
Из выбранной вершины диагонали идут ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних. Они делят многоугольник на треугольники, расположенные рядом друг с другом. Например, у четырёхугольника получается 2 треугольника, у пятиугольника — 3; в общем случае их число на два меньше числа сторон.
Как найти сумму внутренних углов многоугольника?
Посчитайте число его сторон n и подставьте его в формулу 180°(n − 2). Сначала найдите разность n − 2, затем умножьте её на 180°. Например, для пятиугольника сумма равна 180° · 3 = 540°.
Как по сумме внутренних углов определить число сторон?
Обозначьте число сторон буквой n и составьте равенство 180°(n − 2) = известная сумма углов. Разделите сумму на 180°, после чего прибавьте к результату 2. Полученное число должно быть целым и не меньше 3.
Можно ли применять формулу 180°(n − 2) к невыпуклому многоугольнику?
Для выпуклых многоугольников эта формула получается разбиением диагоналями из одной вершины. Не следует применять её к невыпуклой фигуре без дополнительного обоснования: диагонали из выбранной вершины могут не разбить её целиком на треугольники. Сначала установите, что многоугольник выпуклый.
40. Выпуклый многоугольник
