39. Многоугольник

Определения и обозначения

Ломаная — это фигура из нескольких отрезков, соединённых последовательно: конец одного отрезка совпадает с началом следующего. Эти отрезки называются звеньями, а точки их соединения — вершинами ломаной. Например, если три отрезка соединены цепочкой, у такой ломаной две крайние вершины и одна внутренняя. Понятия звена и вершины помогают описывать, из каких частей построена линия.

Замкнутая ломаная — ломаная, у которой конец совпадает с началом. При этом каждое звено соединяется с соседним, а последнее звено возвращается к первой вершине. Если начало и конец не совпадают, ломаная незамкнутая. Это различие важно: граница многоугольника должна образовывать замкнутый контур.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника. Например, у замкнутой ломаной из пяти звеньев получаются пять сторон и пять вершин. Это определение позволяет перейти от описания линии к описанию всей фигуры вместе с её внутренней областью.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его вершины, которые не являются соседними. Если же две вершины соседние, соединяющий их отрезок уже входит в границу многоугольника и называется стороной. Поэтому при поиске диагонали нужно смотреть не только на то, где находятся концы отрезка, но и на то, соседствуют ли эти вершины.

Как это устроено

Чтобы представить ломаную, начните с точки и проведите от неё отрезок, затем присоедините к его концу следующий отрезок, а к нему — ещё один. Каждое место соединения звеньев становится вершиной, поэтому ломаную можно проследить от одной вершины к другой. Если последний отрезок заканчивается в начальной точке, линия замыкается. Если он заканчивается в другом месте, остаются два разных конца, и ломаная не замкнута.

Многоугольник — не только линия, потому что слово «фигура» здесь обозначает всю область, которую линия отграничивает от остальной плоскости. Представьте нарисованный на листе контур: если считать только чернила, получится граница, но сам многоугольник включает также область внутри контура. Это различие нужно, например, когда говорят о площади: площадь относится к внутренней части фигуры, а не только к её границе. Замкнутость контура позволяет однозначно выделить эту внутреннюю область.

Соответствие между элементами ломаной и многоугольника получается из определения: границу фигуры образует именно замкнутая ломаная. Поэтому каждому её звену соответствует сторона, а каждой вершине — вершина многоугольника. Соседними называют две вершины, соединённые одной стороной. Если последовательно обойти контур и посчитать все звенья, получится столько же сторон, сколько точек соединения звеньев, то есть вершин.

Название многоугольника подсказывает, сколько у него сторон: фигуру с тремя сторонами называют треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником, с шестью — шестиугольником. Это связано с тем, что стороны образуют замкнутую цепочку: каждая соединяет одну вершину со следующей, а последняя возвращает контур к началу. Поэтому число сторон и число вершин всегда совпадают. Чтобы не ошибиться в названии, удобно считать элементы по порядку вдоль контура, а не по расположению фигуры на рисунке.

Диагональ отличается от стороны положением относительно контура: её концы лежат в вершинах, но она не является звеном, ограничивающим фигуру. Для заданной вершины сначала найдите две соседние с ней вершины — отрезки к ним являются сторонами. Все остальные вершины этого многоугольника несоседние, поэтому отрезки от исходной вершины к ним будут диагоналями. Именно условие о несоседних вершинах не позволяет назвать диагональю обычную сторону.

Элементы многоугольника и связанные понятия

Пользуйтесь таблицей, когда нужно определить элемент на чертеже: сначала найдите контур и его вершины, затем проверьте, лежит ли отрезок на контуре. Если отрезок соединяет вершины внутри фигуры, выясните, соседние ли они: это поможет отличить диагональ от стороны. Для названия фигуры сосчитайте стороны по замкнутому контуру.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены несколько ломаных. Определите, какие из них замкнутые. Решение. Здесь важно не количество звеньев и не форма линии, а совпадение её начальной и конечной точек. Проверяйте каждую ломаную по одному и тому же правилу.

1. Выберите у первой ломаной точку, от которой начинается её обход.
2. Проследите звенья по порядку до конца. Если последняя точка совпала с начальной, ломаная замкнутая.
3. Повторите проверку для остальных ломаных; если конец не вернулся к началу, ломаная незамкнутая.

Ответ. Замкнутыми являются те ломаные, у которых последняя вершина совпадает с первой. Без изображения нельзя указать их номера или буквы, но проверка всегда выполняется так.

Задача 2. Укажите стороны и вершины данного пятиугольника и назовите его. Решение. Пятиугольник уже задан своим названием по числу сторон, но нужно показать, как это число проверяется на контуре. Обход начинайте с любой вершины и двигайтесь в одном направлении, не перескакивая через элементы.

1. Последовательно отметьте все точки поворота контура — это вершины.
2. Посчитайте звенья между соседними вершинами; каждое такое звено является стороной.
3. Проверьте, что обход вернулся к начальной точке и что насчитано пять сторон и пять вершин.

Ответ. Стороны — все пять звеньев замкнутой ломаной, вершины — все пять точек их соединения. Фигура называется пятиугольником; если вершины обозначены буквами, стороны можно назвать по буквам их концов, например AB.

Задача 3. В шестиугольнике ABCDEF перечислите все диагонали, выходящие из вершины A. Решение. По порядку букв на контуре соседями A являются B и F: отрезки AB и AF уже составляют стороны. Диагонали нужно провести только к несоседним с A вершинам.

1. Выпишите все вершины, кроме A: B, C, D, E, F.
2. Уберите соседние с A вершины B и F, поскольку соединяющие их отрезки со стороной A являются сторонами.
3. Оставшиеся вершины C, D и E соедините с A; полученные отрезки не лежат на границе шестиугольника.

Ответ. Из вершины A выходят диагонали AC, AD и AE. Проверка проста: ни одна из этих пар вершин не соседняя по контуру.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать многоугольником только замкнутую линию. Так думают, потому что на рисунке обычно заметнее всего контур, но определение включает и ограниченную им часть плоскости. Чтобы проверить себя, спросите, обозначает ли слово только границу или всю фигуру с внутренней областью. Для многоугольника верно второе.

Вторая ошибка — называть стороной любой отрезок, нарисованный внутри многоугольника. Она возникает, когда путают принадлежность фигуре с принадлежностью её границе. Сторона обязательно является звеном замкнутой ломаной, которая ограничивает многоугольник. Проверьте отрезок: если он проходит внутри и не входит в контур, стороной он не является.

Третья ошибка — считать диагональю отрезок между соседними вершинами. Такие вершины соединены звеном контура, поэтому отрезок между ними — сторона. Ошибка появляется, если ориентироваться только на то, что отрезок проведён внутри или между вершинами. Для проверки выясните, есть ли между выбранными вершинами на контуре другая вершина: если нет, они соседние.

Четвёртая ошибка — получить разное число сторон и вершин. Обычно при подсчёте пропускают последнее звено, которое замыкает контур, или одну из точек соединения. Обходите границу последовательно и возвращайтесь к начальной точке: у каждого звена есть две соседние вершины, а число звеньев замкнутой ломаной равно числу её вершин. Если результаты не совпали, пересчитайте контур.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в многоугольниках, нужно знать, что такое точка и отрезок, а также уметь распознавать фигуры на плоскости. Понятия сторон, вершин и диагоналей пригодятся при изучении треугольников и четырёхугольников: через эти элементы описывают их свойства. Замкнутая ломаная помогает понять, где проходит граница фигуры, а её внутреннюю область рассматривают при изучении площади. Длина границы, составленной из сторон, связана с периметром многоугольника.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, называются его сторонами.
• Вершины ломаной являются вершинами многоугольника.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Многоугольник называют по числу его сторон.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.