"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Его границу образуют стороны, соединённые в вершинах, а у каждой вершины есть угол. По числу сторон фигуры называют треугольниками, четырёхугольниками, пятиугольниками и так далее. Чтобы разбирать свойства многоугольников, нужно уметь находить их элементы, отличать выпуклые фигуры от невыпуклых и правильно проводить диагонали — отрезки между несоседними вершинами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ломаная линия — это фигура, образованная отрезками, которые соединяются последовательно: конец одного отрезка служит началом следующего. Отрезки называют звеньями ломаной, а точки соединения звеньев — её вершинами. Ломаная помогает описать границу, составленную из прямых участков, и понять, как эти участки связаны между собой.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Точки соединения её звеньев называются вершинами, сами звенья — сторонами, а части фигуры у вершин — углами многоугольника. Это определение позволяет отличить многоугольник от любой случайной фигуры из отрезков и точно называть его элементы.
Выпуклый многоугольник — такой многоугольник, что отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком принадлежит ему. Точки можно выбирать и внутри фигуры, и на её границе. Это свойство нужно, чтобы отличать выпуклые многоугольники от невыпуклых не только по внешнему виду, но и по точному признаку.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседними называют вершины, между которыми нет общей стороны. Диагонали помогают изучать устройство многоугольника и разбивать его на более простые фигуры.
Чтобы получить многоугольник, звенья ломаной соединяют конец к началу и замыкают границу: последняя вершина должна соединиться с первой. Если при обходе линии звено встречает не соседнюю часть границы, появляется самопересечение, и такая фигура не подходит под определение многоугольника. У соседних сторон есть общая вершина, потому что они следуют друг за другом по одной границе. Так граница образует единый контур, а не набор отдельных отрезков.
Название многоугольника зависит от числа его сторон: три стороны дают треугольник, четыре — четырёхугольник, пять — пятиугольник. Для фигур с большим числом сторон используют названия «шестиугольник», «семиугольник» и так далее. Считать стороны удобно, обходя границу по порядку и отмечая каждое звено один раз. Такой способ не даёт пропустить сторону или посчитать её повторно.
Выпуклость определяют по тому, остаётся ли внутри фигуры отрезок между выбранными точками. Если это верно для любых двух точек многоугольника, он выпуклый; если найдётся хотя бы одна пара, для которой отрезок выйдет наружу, он невыпуклый. У выпуклой фигуры любая диагональ целиком лежит внутри неё или на границе. У невыпуклой многоугольной границы некоторые диагонали могут выходить за пределы фигуры, поэтому сам факт, что стороны не пересекаются, выпуклость не доказывает.
Диагональ соединяет только несоседние вершины, потому что отрезок между соседними вершинами уже является стороной. Например, у четырёхугольника A, B, C, D стороны AB, BC, CD и DA, а диагонали AC и BD. Чтобы провести диагональ из A, нужно найти вершины, не соединённые с A сторонами: это C. В четырёхугольнике из одной вершины выходит одна диагональ, поскольку остаётся только одна несоседняя вершина.
У многоугольника число сторон, вершин и углов одинаково, поскольку при обходе границы каждый переход ведёт к следующей вершине по одной стороне. В каждой вершине встречаются две соседние стороны, и там образуется угол фигуры. Например, у пятиугольника пять сторон, пять вершин и пять углов. Стороны при этом образуют замкнутую границу: конец последней стороны соединён с началом первой.
| Элемент или вид | Что это такое | Как распознать |
|---|---|---|
| Ломаная линия | Последовательно соединённые отрезки | У соседних звеньев есть общая вершина |
| Замкнутая ломаная | Ломаная, конец которой соединён с началом | Можно обойти контур и вернуться в исходную точку |
| Многоугольник | Часть плоскости внутри замкнутой ломаной без самопересечений | Граница замкнута, а её звенья не пересекаются между собой |
| Выпуклый многоугольник | Многоугольник, содержащий отрезок между любыми двумя своими точками | Ни один такой отрезок не выходит за границу |
| Диагональ | Отрезок между несоседними вершинами | Его концы — вершины, не соединённые стороной |
Пользуйтесь таблицей как последовательной проверкой: сначала посмотрите, как соединены отрезки, затем выясните, замкнута ли граница и нет ли самопересечений. После этого можно определить выпуклость и найти диагонали. Проверяйте именно признак каждого элемента, а не только общий вид чертежа.
Задача 1. Определить, является ли фигура многоугольником, если её граница составлена из отрезков, но два звена пересекаются. Нужно проверить, выполняются ли оба требования к границе: она должна быть замкнутой и не иметь самопересечений. Пересечение двух звеньев нарушает второе требование, независимо от того, замкнулась ли линия.
Ответ: фигура не является многоугольником, потому что два звена пересекаются.
Задача 2. Для пятиугольника ABCDE назвать вершины, стороны и углы, а также указать число каждой части. Предполагается, что буквы идут по порядку обхода границы. Важно пройти весь контур, включая последний переход от последней вершины к первой: именно так граница замыкается.
Ответ: вершины — A, B, C, D, E; стороны — AB, BC, CD, DE, EA; углы — при вершинах A, B, C, D, E. Каждых элементов по пять.
Задача 3. Для шестиугольника ABCDEF определить, выпуклый ли он, и перечислить диагонали из вершины A. Считаем, что вершины записаны по порядку, поэтому стороны, прилегающие к A, — AB и FA. По одному лишь названию фигуры выпуклость определить нельзя: её нужно проверить по рисунку или по условию.
Ответ: выпуклость определяется проверкой отрезков между точками фигуры; из A выходят диагонали AC, AD и AE.
Называть многоугольником любую фигуру из отрезков — ошибка, потому что линия может быть незамкнутой или самопересекающейся. Её допускают, если ориентируются только на то, что граница выглядит угловатой. Проверьте: конец последнего звена соединён с началом первого, а звенья не пересекаются вне соседних вершин?
Считать диагональю отрезок между соседними вершинами неверно: это сторона многоугольника. Путаница появляется, когда отрезок нарисован внутри фигуры и кажется «внутренним». Сверьте концы отрезка с порядком вершин: если они соединены стороной, диагонали нет.
Вершина и угол — не одно и то же. Вершина является точкой, где встречаются стороны, а угол — частью фигуры у этой точки, образованной двумя соседними сторонами. Ошибку легко заметить, если в ответе в качестве угла указана только точка; для проверки назовите отдельно точку и угол при ней.
Отсутствие пересечений сторон само по себе не делает многоугольник выпуклым. Так думают, потому что невыпуклые фигуры часто узнают по вогнутой части, но точное условие относится ко всем отрезкам между точками фигуры. Проверьте хотя бы диагонали и помните полный признак: отрезок между любыми двумя точками не должен выходить наружу.
Для изучения многоугольников понадобятся знания об отрезке, луче, угле и точке, а также свойства простейших геометрических фигур. Понятия сторон, вершин и углов затем используются при изучении треугольников и четырёхугольников. Диагонали помогают делить многоугольники на треугольники, а выпуклость важна при разборе их свойств. Поэтому умение читать границу фигуры становится основой для следующих тем геометрии.
Может ли ломаная быть замкнутой и при этом не образовывать многоугольник?
Да. Если звенья замкнутой ломаной пересекаются не только в соседних вершинах, она имеет самопересечение и не ограничивает многоугольник по данному определению. Поэтому нужно проверять и замкнутость, и отсутствие самопересечений.
Почему у многоугольника число вершин всегда равно числу сторон?
Каждая сторона соединяет две соседние вершины, а в каждой вершине встречаются две стороны границы. Если обойти границу целиком, каждой вершине соответствует переход к следующей стороне, поэтому количества совпадают.
Как быстро проверить, является ли многоугольник выпуклым?
Проверьте, что отрезок между любыми двумя точками многоугольника целиком остаётся внутри него или на границе. Если хотя бы один такой отрезок выходит наружу, многоугольник невыпуклый. На чертеже для быстрой проверки можно посмотреть, не выходит ли наружу диагональ.
Какие отрезки внутри многоугольника называют диагоналями?
Диагональ соединяет две вершины, которые не являются соседними. Например, у четырёхугольника диагонали соединяют пары противоположных вершин.
Может ли диагональ совпадать со стороной?
Нет. Сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — несоседние. Если отрезок проходит между соседними вершинами, это сторона, даже если он выглядит как линия внутри чертежа.
§ 1. Многоугольники
