38. Построение треугольника по трем элементам

Определения и обозначения

Построение треугольника по трём элементам — это задача, в которой по заданным сторонам и углам нужно получить треугольник с такими же элементами. После построения проверяют, совпадают ли длины и величины углов с исходными данными. Такая проверка помогает отличить правильное решение от похожей, но другой фигуры.

Построение по трём сторонам означает, что известны длины всех трёх сторон будущего треугольника. Каждая длина задаёт расстояние между соответствующей парой вершин. Эти данные позволяют найти третью вершину с помощью двух окружностей.

Построение по двум сторонам и углу между ними — это построение, когда известны длины двух сторон и угол, у которого эти стороны образуют стороны-лучи. Угол должен быть именно заключён между заданными сторонами, а не находиться при другой вершине. Это уточнение нужно, потому что другой угол задаёт иное расположение сторон.

Построение по стороне и двум прилежащим к ней углам означает, что дана длина одной стороны и величины углов при обоих её концах. Эти углы называют прилежащими к стороне. Они задают направления двух других сторон, а значит, помогают определить положение третьей вершины.

Как это устроено

Любую задачу на построение решают не одним действием, а последовательностью. Сначала выполняют построение, затем объясняют, почему каждый проведённый отрезок или луч соответствует условию. После этого проверяют, что полученная фигура действительно имеет заданные элементы, и выясняют, можно ли получить другой, неравный треугольник. Такая проверка отделяет доказанное решение от случайного чертежа.

При трёх заданных сторонах одну из них удобно взять за основание. Из каждого конца основания проводят окружность радиусом, равным одной из оставшихся сторон: любая точка первой окружности находится на нужном расстоянии от одного конца, а второй — от другого. Точка пересечения окружностей подходит на роль третьей вершины, потому что расстояния до концов основания равны заданным длинам. Пересечение по другую сторону основания даёт треугольник, равный первому.

Однако пересечения может не оказаться, если длины не образуют треугольник. Для существования треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей: например, две короткие стороны вместе должны быть длиннее самой длинной. Это неравенство треугольника. Если оно нарушено, окружности не дадут вершину, образующую невырожденный треугольник.

Для двух сторон и угла между ними сначала откладывают одну известную сторону. У её конца строят заданный угол, потому что именно в общей вершине сторон должен находиться этот угол. На луче угла откладывают вторую сторону заданной длины, а затем соединяют свободные концы отрезков. Так длины сторон и угол оказываются заданными непосредственно построением.

Если известны сторона и два прилежащих к ней угла, сначала строят эту сторону, а у каждого её конца — соответствующий угол. Лучи направляют в одну полуплоскость относительно стороны, внутрь будущего треугольника; их пересечение даёт третью вершину. Для обычного треугольника сумма заданных углов должна быть меньше 180°, иначе лучи не образуют подходящую вершину. Полученная фигура имеет исходную сторону и оба заданных угла.

Построение треугольника по трём заданным элементам

Пользуйтесь таблицей как планом: сначала найдите строку, соответствующую условию, затем проверьте существование треугольника. После построения сверяйте результат с заданными элементами. Однозначность означает, что возможные положения на чертеже дают равные треугольники, а не обязательно одну и ту же фигуру на листе.

Разбор задач

Задача 1. Построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Сначала проверим возможность построения: 3 + 4 > 5, 3 + 5 > 4 и 4 + 5 > 3. Значит, данные подходят, и можно использовать окружности.

1. Построим отрезок AB = 5 см и примем его за основание.
2. Проведём окружность с центром A и радиусом 3 см, а с центром B — радиусом 4 см.
3. Обозначим одну из точек пересечения окружностей буквой C и проведём AC и BC.
4. Проверим: AB = 5 см, AC = 3 см, BC = 4 см, потому что C лежит на обеих окружностях.

Ответ: треугольник ABC построен. Вторая точка пересечения даёт равный ему треугольник по другую сторону основания.

Задача 2. Построить треугольник по двум сторонам 5 см и 6 см и углу 60° между ними. В условии уточнено, что угол заключён между сторонами, поэтому он должен иметь вершину в их общей точке. Длины положительны, а угол меньше 180°, значит, такую фигуру можно построить.

1. Построим угол 60° с вершиной A.
2. На одном луче отложим AB = 5 см, на другом — AC = 6 см.
3. Соединим точки B и C, чтобы замкнуть треугольник.
4. Проверим, что две стороны равны заданным длинам, а угол BAC равен 60°.

Ответ: треугольник ABC построен. Если поменять местами длины на лучах, получится равный треугольник.

Задача 3. Построить треугольник по стороне 7 см и прилежащим к ней углам 45° и 75°. Проверим условие: 45° + 75° = 120°, а 120° меньше 180°. Значит, лучи должны пересечься и образовать третью вершину.

1. Построим отрезок AB = 7 см.
2. У конца A построим угол 45°, а у конца B — угол 75°; оба луча направим в одну полуплоскость относительно AB.
3. Обозначим пересечение лучей буквой C и соединим его с A и B.
4. Убедимся, что AB имеет длину 7 см, а углы при A и B равны 45° и 75°.

Ответ: треугольник ABC построен. Его третий угол равен 60°, так как сумма углов треугольника составляет 180°.

Типичные ошибки

При построении по двум сторонам иногда откладывают угол не между ними. Так случается, если ориентироваться только на число градусов, забыв о вершине и лучах заданного угла. Проверьте, что каждая из двух известных сторон выходит из вершины этого угла; иначе вы решаете другую задачу.

По трём сторонам начинают чертить, не проверив неравенство треугольника. Причина — кажется, что любые три отрезка можно соединить в замкнутую фигуру. Сложите каждую пару длин и сравните её с третьей: все три суммы должны быть больше оставшейся стороны.

При построении по стороне и двум углам оба угла могут построить у одного конца или направить лучи так, что нужного пересечения не получится. Это происходит, когда не учитывают, что углы прилежат к разным концам заданной стороны и относятся к внутренней области треугольника. Перед черчением отметьте вершины углов и проверьте, что сумма углов меньше 180°.

Две точки пересечения окружностей или два положения треугольника на листе иногда принимают за разные решения. На самом деле они могут быть зеркальными изображениями и равными треугольниками. Сравните соответствующие стороны и углы: если они совпадают, положения различны, но решение однозначно с точностью до равенства.

Связь с другими темами

Для этих построений нужно уметь откладывать отрезок заданной длины, строить угол и проводить окружность с заданными центром и радиусом. Это базовые инструменты, с помощью которых стороны и расстояния превращаются в геометрический чертёж. Чтобы доказать, что построенный треугольник подходит и определяется однозначно, используют признаки равенства треугольников. Эти приёмы пригодятся в других задачах на построение, где требуется выяснить существование и единственность фигуры.

Что запомнить

• Три стороны задают треугольник, если выполняется неравенство треугольника.
• При построении по двум сторонам заданный угол должен быть углом между ними.
• По стороне и двум прилежащим углам строят углы у концов этой стороны.
• Пересечение построенных окружностей или лучей задаёт вершину треугольника.
• Каждое построение нужно обосновать и проверить по исходным данным.
• Треугольники, полученные по одним и тем же трём элементам в этих случаях, равны.