§ 4. Построение треугольника по трем элементам

Определения и обозначения

Элемент треугольника — это его сторона или угол. В задачах на построение рассматривают заданные длины сторон и величины углов. Нужно внимательно различать, какой именно угол указан: например, угол между двумя сторонами определяет, как они расположены друг относительно друга.

Построение треугольника по трём элементам — задача, в которой требуется с помощью циркуля и линейки получить треугольник с заданными значениями трёх его сторон и углов. В этой теме изучают три набора данных: три стороны, две стороны с углом между ними, а также сторону и два прилежащих к ней угла. Это помогает выбрать правильный способ построения и не начать работу с неподходящих данных.

Решение задачи на построение — последовательность действий циркулем и линейкой, после которой проверяют правильность результата и возможность построения. Одних аккуратных линий недостаточно: нужно объяснить, почему полученная фигура имеет нужные размеры и форму. Для этого используют свойства геометрических фигур и признаки равенства треугольников.

Как это устроено

Если заданы три стороны, сначала выбирают одну из них и строят соответствующий отрезок. Его концы становятся двумя вершинами треугольника, а длины двух оставшихся сторон задают расстояния от этих вершин до третьей. Поэтому из концов отрезка проводят окружности с радиусами, равными двум другим сторонам: точка их пересечения и есть искомая вершина. Такой способ сработает, если окружности пересекутся, то есть если длины удовлетворяют неравенству треугольника.

Когда заданы две стороны и угол между ними, общий конец этих сторон уже известен: это вершина заданного угла. Сначала строят угол, а затем на каждом его луче откладывают длину одной из сторон. Концы отложенных отрезков соединяют, потому что третий отрезок замыкает фигуру и образует треугольник. Важно использовать именно угол между данными сторонами: он задаёт направление обеих сторон и тем самым определяет их взаимное положение.

Если известны сторона и два прилежащих к ней угла, данная сторона задаёт основание и положение его концов. У каждого конца строят свой угол, откладывая его от основания в одну и ту же полуплоскость. Вторые лучи этих углов пересекаются в третьей вершине, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Если сумма заданных углов равна или больше 180°, треугольник построить нельзя: у третьей вершины не останется положительного угла.

Правильность полученного треугольника доказывают, сравнивая его с любым треугольником, который удовлетворяет условию задачи. В случае трёх сторон совпадают все три соответствующие стороны; в случае двух сторон и угла совпадают две стороны и угол между ними. Если задана сторона и два прилежащих угла, совпадают сторона и два угла при её концах. В каждом случае работает признак равенства треугольников, поэтому построенная фигура не просто похожа на нужную, а равна ей.

До начала работы проверяют, существует ли решение. Для трёх сторон сумма любых двух должна быть больше третьей: иначе две стороны не смогут соединить концы третьей. Для двух сторон с углом между ними достаточно, чтобы длины были положительными, а угол был больше 0° и меньше 180°. Для стороны и двух прилежащих углов оба угла должны быть положительными, а их сумма — меньше 180°. Проверка экономит время: она сразу показывает, не противоречат ли данные свойствам треугольника.

Построение треугольника по трём элементам

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую данным задачи, и проверьте условие существования. Затем выполните действия из третьего столбца и сверьте полученную фигуру с обоснованием единственности. Так можно разделить решение на построение, проверку и доказательство.

Разбор задач

Задача 1. Построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Сначала проверим, могут ли эти длины быть сторонами треугольника: 3 + 4 = 7 больше 5, 3 + 5 больше 4, а 4 + 5 больше 3. Значит, окружности должны пересечься и построение возможно.

1. Постройте отрезок AB длиной 5 см. Он будет одной стороной треугольника, а его концы — двумя вершинами.
2. Проведите окружность с центром A радиусом 3 см, а окружность с центром B радиусом 4 см. Точка C на их пересечении отстоит от A на 3 см, а от B — на 4 см.
3. Соедините C с A и B. Получился треугольник ABC с заданными тремя сторонами; второе пересечение окружностей даёт равный ему треугольник по другую сторону от AB.

Ответ: треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см построен. Его правильность следует из длин трёх построенных сторон, а равенство любого треугольника с такими сторонами — из признака по трём сторонам.

Задача 2. Построить треугольник, в котором две стороны равны 5 см и 6 см, а угол между ними равен 60°. В условии назван угол именно между данными сторонами, поэтому он будет общей вершиной этих сторон. Угол 60° меньше 180°, а обе длины положительны, значит, построение возможно.

1. Постройте угол величиной 60° с вершиной O. Его лучи зададут направления двух сторон треугольника.
2. На одном луче отложите отрезок OA длиной 5 см, а на другом — отрезок OB длиной 6 см. Точка O будет общей вершиной заданных сторон.
3. Соедините A и B. Отрезок AB завершит треугольник, а проверка показывает, что в нём есть стороны 5 см и 6 см и угол 60° между ними.

Ответ: треугольник OAB построен. Любой треугольник с такими двумя сторонами и углом между ними равен ему по соответствующему признаку равенства.

Задача 3. Построить треугольник, если сторона равна 7 см, а прилежащие к ней углы равны 50° и 60°. Проверим сумму углов: 50° + 60° = 110°, это меньше 180°. Поэтому для третьего угла останется 70°, и лучи, построенные при концах стороны, пересекутся.

1. Постройте отрезок AB длиной 7 см. Его концы будут вершинами, при которых нужно построить заданные углы.
2. У точки A постройте угол 50°, а у точки B — угол 60°. Оба угла откладывайте в одной полуплоскости относительно прямой AB, чтобы лучи могли встретиться над отрезком.
3. Обозначьте точку пересечения вторых лучей буквой C. Соединения уже заданы лучами, поэтому получился треугольник ABC с нужной стороной и углами.

Ответ: треугольник ABC построен. Он имеет сторону 7 см и углы 50° и 60° при её концах; равенство треугольников с такими данными подтверждает, что построение верно.

Типичные ошибки

• При построении по трём сторонам можно перепутать радиусы окружностей или отложить длины от неправильных концов отрезка. Обычно это происходит, когда не подписывают вершины и не связывают каждую длину с нужной стороной. Проверьте, что радиусы окружностей равны двум оставшимся сторонам, а центры стоят на концах первой стороны.

• Для двух сторон и угла иногда строят не угол между ними, а другой угол треугольника. Тогда заданные стороны не выходят из общей вершины заданного угла, и результат не соответствует условию. Перед построением отметьте, что угол должен находиться именно между двумя лучами, на которых откладываются данные стороны.

• При построении по стороне и двум углам можно по ошибке отложить оба угла у одного конца стороны. Так делают, если воспринимают оба значения как углы одной вершины, хотя в условии они прилежат к разным концам заданной стороны. Проверьте, что один угол построен у A, другой — у B, а сумма значений меньше 180°.

• Иногда начинают строить треугольник, не проверив, возможны ли данные длины. Например, отрезки 2 см, 3 см и 6 см не могут быть сторонами: сумма 2 и 3 меньше 6, поэтому окружности с нужными радиусами не пересекутся. До построения складывайте каждую пару сторон и сравнивайте сумму с третьей.

Связь с другими темами

Для построений нужны навыки, полученные раньше: умение построить отрезок заданной длины и угол заданной величины, провести окружность, пользоваться циркулем и линейкой. Без них нельзя точно задать расстояния и направления сторон. Доказательство построения связано с признаками равенства треугольников: они позволяют подтвердить, что полученная фигура соответствует условию. Такие приёмы пригодятся и в других геометрических задачах, где нужно сначала построить фигуру, а затем обосновать результат.

Что запомнить

• Треугольник можно построить по трём сторонам, если выполняются неравенства треугольника.
• Две стороны и угол между ними однозначно задают треугольник.
• Сторона и два прилежащих к ней угла однозначно задают треугольник, если сумма углов меньше 180°.
• При построении по трём сторонам третью вершину находят как точку пересечения двух окружностей.
• Правильность построения подтверждают проверкой заданных элементов и признаком равенства треугольников.
• Перед построением нужно выяснить, существует ли треугольник с заданными элементами.