37. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Определения и обозначения

Перпендикуляр к прямой из точки — отрезок, который соединяет эту точку с прямой и образует с ней прямой угол. Чтобы провести его, из точки опускают к прямой отрезок под углом 90°. Он нужен, чтобы определить кратчайший путь от точки до прямой.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую. Например, если отрезок AB перпендикулярен прямой, а точка B лежит на ней, то B — основание перпендикуляра. Это обозначение помогает понять, где именно отрезок заканчивается на прямой.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если AB перпендикулярен прямой и B лежит на ней, расстояние от A до прямой равно длине AB. Так расстояние задаётся однозначно, а не зависит от того, какой отрезок до прямой выбрали.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого из точки одной прямой к другой. Такой отрезок пересекает обе прямые под прямым углом. Определение позволяет сравнивать расстояние между параллельными прямыми независимо от выбора точки.

Как это устроено

Из точки, не лежащей на прямой, к ней можно провести перпендикуляр. Он пересечёт прямую в одной точке, которая и станет основанием. Прямой угол между отрезком и прямой можно отметить на чертеже маленьким квадратиком. Эта отметка помогает не принять наклонный отрезок за перпендикуляр.

Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до прямой, потому что он короче любой наклонной, проведённой из той же точки. Наклонная идёт к прямой не под прямым углом и образует с перпендикуляром прямоугольный треугольник. В таком треугольнике наклонная является гипотенузой, а гипотенуза длиннее каждого катета. Поэтому длина наклонной не подходит для определения расстояния.

Если прямые параллельны, перпендикуляр к одной из них перпендикулярен и другой. Причина в том, что при пересечении параллельных прямых секущей соответствующие углы равны: если один из них прямой, то и угол со второй прямой тоже прямой. Значит, проведённый отрезок действительно соединяет две прямые под прямым углом. Его длина и есть расстояние между ними.

Это расстояние не зависит от того, какую точку на первой прямой выбрали. Если провести из двух точек перпендикуляры до второй прямой, то вместе с отрезками на прямых они образуют четырёхугольник с прямыми углами — прямоугольник. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому оба перпендикулярных отрезка имеют одинаковую длину. Так объясняется постоянство расстояния между параллельными прямыми.

На чертеже сначала найди прямую или пару параллельных прямых, а затем отыщи отрезок, который пересекает нужную прямую под углом 90°. Квадратик отмечает прямой угол, а точка пересечения отрезка с прямой — основание перпендикуляра. Искомое расстояние — длина самого перпендикулярного отрезка, а не координата его основания и не длина наклонной. Если обозначения угла нет, проверь, следует ли перпендикулярность из условия задачи.

Расстояния от точки до прямой и между параллельными прямыми

В таблице собраны три случая, которые важно различать при чтении чертежа. Сначала определи, что именно задано: точка и прямая или две параллельные прямые. Затем найди перпендикуляр и используй его длину; для наклонной помни, что она длиннее.

Разбор задач

Задача 1. Из точки A к прямой проведён перпендикуляр AB длиной 5 см и наклонная AC длиной 7 см. Найдите расстояние от A до прямой. Нужно не выбирать самый длинный из данных отрезков, а определить, какой из них соответствует определению расстояния. Условие прямо сообщает, что AB перпендикулярен прямой.

1. Найди отрезок, который образует прямой угол с прямой. Это AB, поскольку в условии он назван перпендикуляром.
2. Вспомни определение: расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра. Следовательно, длина AC здесь не подходит, потому что AC — наклонная.
3. Подставь длину AB из условия: AB = 5 см. Дополнительных вычислений не требуется.

Ответ: 5 см. Наклонная AC длиной 7 см соединяет A с прямой, но не измеряет расстояние до неё. Она длиннее перпендикуляра, что согласуется со свойством наклонной.

Задача 2. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно 4 см. Из точки одной прямой проведён перпендикуляр к другой. Найдите его длину. Здесь не нужно измерять или вычислять новый отрезок: по условию проведён именно тот перпендикуляр, которым определяется расстояние между прямыми. Достаточно сопоставить слова задачи с определением.

1. Убедись, что отрезок соединяет две параллельные прямые. Один его конец лежит на первой прямой, а другой — на второй.
2. Проверь, что отрезок перпендикулярен второй прямой. Так как прямые параллельны, он перпендикулярен и первой.
3. Значит, отрезок измеряет расстояние между прямыми. Его длина равна заданным 4 см.

Ответ: 4 см. Любой перпендикуляр между этими прямыми имеет такую длину. Наклонный отрезок между ними не был бы расстоянием.

Задача 3. Точки A и B лежат на одной из двух параллельных прямых. Из них проведены перпендикуляры AC и BD ко второй прямой. Объясните, почему AC = BD. Важно заметить, что оба отрезка проведены между одной и той же парой параллельных прямых и под прямым углом. Следовательно, каждый из них измеряет одно и то же расстояние.

1. Так как AC и BD перпендикулярны второй прямой, они перпендикулярны и первой прямой. Отрезок AB лежит на первой прямой, а CD — на второй.
2. Четырёхугольник ABDC имеет прямые углы: его стороны AB и CD лежат на параллельных прямых, а AC и BD перпендикулярны им. Значит, это прямоугольник.
3. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Стороны AC и BD противоположны, поэтому AC = BD.

Ответ: AC = BD, потому что они являются противоположными сторонами прямоугольника. Иными словами, расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно и не зависит от выбранных точек A и B.

Типичные ошибки

Ошибка — считать расстоянием длину любой наклонной, соединяющей точку с прямой. Так делают, потому что наклонная тоже касается обеих заданных частей чертежа. Но расстояние определено только как длина перпендикуляра, поэтому проверь наличие прямого угла и сравни выбранный отрезок с перпендикуляром.

Ошибка — называть основание перпендикуляра расстоянием. Основание — это точка пересечения перпендикуляра с прямой, а расстояние — длина отрезка от исходной точки до основания. Чтобы проверить себя, спроси: в ответе требуется назвать точку или число с единицей длины?

Ошибка — проводить к параллельной прямой отрезок под произвольным углом и считать его длину расстоянием. Такой отрезок может соединять прямые, но не является кратчайшим. Проверь, образует ли он прямой угол с прямыми; если нет, для измерения расстояния он не подходит.

Ошибка — думать, что расстояние между параллельными прямыми меняется при выборе точки. Может показаться, что на чертеже отрезки разной длины из-за их положения или масштаба рисунка. Проверь геометрически: все перпендикуляры между данной парой параллельных прямых равны, поэтому измерять достаточно любой из них.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в этой теме, нужно знать, что такое параллельные и перпендикулярные прямые, а также свойства углов при параллельных прямых. Эти знания помогают обосновать, почему перпендикуляр к одной прямой пары перпендикулярен и другой. Позже умение проводить перпендикуляры пригодится в задачах на построение и вычисление расстояний. Оно также используется при изучении геометрических фигур, где нужно сравнивать длины и распознавать прямоугольные треугольники.

Что запомнить

• Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к прямой.
• Основание перпендикуляра лежит на прямой.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют перпендикуляром между ними.
• Все перпендикулярные отрезки между двумя параллельными прямыми равны.