§ 1. Многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная линия — это фигура, составленная из нескольких отрезков, которые называют звеньями. Конец одного звена совпадает с концом следующего, поэтому звенья соединяются последовательно. Такая линия помогает описать путь по прямым участкам и служит границей многоугольника. Если последний конец соединён с первым, ломаная называется замкнутой.

Многоугольник — замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Отрезки ломаной образуют границу фигуры, а ограниченная ими область считается её внутренней частью. Поэтому многоугольник — не только контур, но и плоская фигура внутри него. Это определение позволяет точно отличать многоугольник от незамкнутой линии.

Выпуклый многоугольник — такой многоугольник, который расположен по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Прямая, продолжающая сторону, не разрезает фигуру на части по разные стороны от неё. Это свойство удобно использовать, чтобы отличить выпуклые фигуры от невыпуклых. Например, у выпуклого многоугольника нет «впадины», направленной внутрь.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Соседние вершины уже соединены стороной, поэтому отрезок между ними не считают диагональю. Диагонали помогают исследовать устройство фигуры и делить её на более простые многоугольники. Вершины многоугольника обычно обозначают заглавными латинскими буквами.

Как это устроено

Чтобы ломаная ограничивала обычную внутреннюю область, она должна быть замкнутой: её начало и конец должны совпасть. Иначе у контура останется разрыв, через который нельзя однозначно отделить внутреннюю часть от внешней. Ломаная также не должна пересекать себя, потому что при пересечении граница образует несколько областей, и возникает вопрос, какую из них считать фигурой. Поэтому для многоугольника используют замкнутую непересекающуюся ломаную.

Вершины многоугольника — это точки соединения соседних звеньев ломаной, а стороны — сами звенья. У каждой стороны есть две вершины-конца, а у каждой вершины сходятся две стороны. Обозначение ABCDE задаёт порядок обхода пятиугольника: после A идут соседние B, C и так далее, а последняя вершина E соединена с A. Если перечислять вершины не по порядку, запись может неверно показывать, какие стороны образуют границу.

Название многоугольника связано с количеством его сторон, потому что именно стороны составляют его границу. У треугольника три стороны, у четырёхугольника — четыре; фигуру с n сторонами называют n-угольником. Число вершин у обычного многоугольника совпадает с числом сторон: каждой вершине соответствуют две соседние стороны. Это позволяет по числу сторон сразу определить вид фигуры.

Соседними называют вершины, которые соединены одной стороной; несоседние не имеют общей стороны. Отрезок между соседними вершинами уже является частью границы, поэтому он не добавляет нового соединения внутри фигуры. Диагональ проводят именно между несоседними вершинами, чтобы она пересекала внутреннюю область многоугольника. Например, у пятиугольника отрезок AC — диагональ, а AB — сторона, если эти вершины стоят рядом в записи.

Периметр показывает общую длину границы многоугольника, поэтому его находят сложением длин всех сторон. Нужно пройти по контуру и учесть каждую сторону ровно один раз. Если все стороны равны и их длина равна a, а число сторон — n, то периметр равен P = a · n. Перед сложением важно привести длины к одним единицам, например к сантиметрам.

Элементы и характеристики многоугольника

Сначала найдите вершины и проследите их порядок по границе: так легче определить стороны и соседние пары. Затем проверьте, соединяет ли нужный отрезок соседние вершины или несоседние. Для вычислений используйте строку таблицы о периметре, а для определения выпуклости проверяйте расположение фигуры относительно прямых сторон.

Разбор задач

На рисунке дана замкнутая ломаная ABCDE. Назовите многоугольник и укажите его вершины и стороны. Сначала проследим контур по порядку букв, чтобы не перепутать соединённые точки. Последняя вершина замыкает фигуру, соединяясь с первой.

1. В записи пять букв, значит, у фигуры пять вершин и пять сторон.
2. Вершины идут по порядку: A, B, C, D, E. По числу сторон фигура называется пятиугольником ABCDE.
3. Каждая сторона соединяет соседние вершины, включая последнюю и первую: AB, BC, CD, DE и EA.

Ответ: пятиугольник ABCDE; вершины A, B, C, D, E; стороны AB, BC, CD, DE, EA. Замыкание контура важно: отрезок EA тоже входит в границу. Если его не указать, получится незамкнутая ломаная, а не многоугольник.

Найдите периметр пятиугольника, стороны которого равны 3 см, 4 см, 5 см, 4 см и 6 см. Периметр — это общая длина границы, поэтому необходимо учесть все пять сторон. Поскольку длины уже даны в сантиметрах, их можно складывать без преобразований.

1. Запишем длины сторон: 3 см, 4 см, 5 см, 4 см и 6 см.
2. Сложим их: 3 + 4 + 5 + 4 + 6 = 22.
3. К результату добавим единицу длины, так как складывали сантиметры.

Ответ: периметр равен 22 см. Проверка: в сумме использованы все пять данных длин, причём каждая только один раз. Периметр измеряется единицами длины, а не квадратными единицами, которые используют для площади.

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого семиугольника? Выберем одну вершину и рассмотрим, к каким точкам можно провести отрезки, не совпадающие со сторонами. Саму выбранную вершину и две соседние нужно исключить из подсчёта.

1. У семиугольника всего 7 вершин.
2. Не соединяем выбранную вершину с самой собой, поэтому остаётся 6 других вершин.
3. Две из них соседние с выбранной вершиной, и отрезки к ним будут сторонами. Остаётся 6 − 2 = 4 вершины для диагоналей.

Ответ: из одной вершины можно провести 4 диагонали. В общем случае из вершины n-угольника проводят n − 3 диагонали: исключают саму вершину и двух её соседей. Здесь 7 − 3 = 4, что совпадает с подсчётом.

Типичные ошибки

• Называют многоугольником незамкнутую ломаную и забывают соединить последнюю вершину с первой. Так происходит, когда считают только видимые подряд звенья и не проверяют, образовался ли контур. Проверьте, есть ли у каждой вершины две стороны, а начало и конец ломаной совпадают.

• Считают стороной любой отрезок между вершинами, хотя сторона соединяет только соседние вершины. Ошибку допускают, когда не различают границу и отрезки внутри фигуры. Проследите порядок вершин: если между ними есть другие вершины по границе, соединяющий их отрезок является диагональю.

• Записывают вершины многоугольника не по порядку. Тогда обозначение может создать впечатление, что соседями являются точки, которые на самом деле не соединены стороной. Проверка простая: пройдите вдоль границы и выпишите каждую вершину подряд, не перескакивая через другие.

• При вычислении периметра пропускают сторону или путают периметр с площадью. Обычно это происходит, если считают не по границе или не записывают единицы измерения. Перечислите стороны по кругу и отметьте каждую после сложения; в ответе укажите единицу длины, например сантиметры.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно знать, что такое точка, отрезок и угол, а также понимать, чем замкнутая ломаная отличается от незамкнутой. Эти понятия помогают описывать границу фигуры и находить места соединения её сторон. В дальнейшем вершины, стороны и диагонали понадобятся при изучении треугольников, четырёхугольников и свойств многоугольников. Умение находить периметр также пригодится при решении задач о длине границы фигур.

Что запомнить

• Многоугольник образован замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости.
• Вершины многоугольника — концы его сторон.
• Стороны соединяют соседние вершины.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Число сторон определяет вид многоугольника.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.
• У выпуклого многоугольника каждая сторона отделяет его от остальной части плоскости.