§ 2. Четырехугольники. Суммы величин углов выпуклого четырехугольника

Определения и обозначения

Четырёхугольник — это замкнутая ломаная из четырёх звеньев и часть плоскости, ограниченная этой ломаной. Точки, в которых соединяются звенья, называют вершинами, а сами звенья — сторонами. Если вершины по порядку обозначены A, B, C и D, четырёхугольник записывают как ABCD, а его стороны — AB, BC, CD и DA. Такое обозначение помогает точно указывать, о какой фигуре и каких её частях идёт речь.

Выпуклым называют четырёхугольник, который целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например, если провести прямую вдоль одной стороны, остальные точки фигуры не окажутся по разные стороны от этой прямой. Выпуклость важна для доказательства суммы углов: диагональ такой фигуры проходит внутри неё и разбивает её на два треугольника. Поэтому сначала проверяют, что четырёхугольник выпуклый.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. В ABCD вершины A и C несоседние, как и B и D, поэтому диагонали — AC и BD. Всего их две: соседние вершины уже соединены сторонами, а других пар несоседних вершин нет. Диагонали нужны, в частности, чтобы разделить четырёхугольник на более простые фигуры.

Внутренние углы четырёхугольника — углы при его вершинах, образованные двумя сторонами, которые сходятся в этой вершине. В ABCD это углы при A, B, C и D; для краткости их можно обозначать ∠A, ∠B, ∠C и ∠D. Не путай их с углами, которые возникают после проведения диагонали: несколько таких углов могут составлять один внутренний угол. Это различие понадобится при объяснении доказательства.

Как это устроено

Возьмём выпуклый четырёхугольник ABCD и проведём диагональ AC. Она соединит несоседние вершины A и C, а выпуклость гарантирует, что отрезок окажется внутри фигуры. Получатся два треугольника: ABC и ACD. Именно поэтому свойства треугольников можно использовать для изучения четырёхугольника.

Сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°. Значит, в треугольнике ABC три угла вместе дают 180°, и столько же дают три угла треугольника ACD. Вместе обе тройки содержат все части углов четырёхугольника, поэтому их сумма равна 180° + 180° = 360°. Так получается правило: сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

У диагонали AC есть два конца — A и C. В вершине A диагональ делит внутренний угол ∠DAB на два угла: один принадлежит треугольнику ABC, другой — треугольнику ACD. В вершине C происходит то же самое с углом ∠BCD. Поэтому, когда складывают углы двух треугольников, их части при A и C складываются обратно в целые углы четырёхугольника; углы при B и D уже являются его углами полностью.

Для доказательства можно вместо AC провести вторую диагональ BD. Она тоже проходит внутри выпуклого четырёхугольника и создаёт два треугольника, сумма углов каждого из которых равна 180°. Углы, на которые BD делит углы при B и D, соединяются в полные углы четырёхугольника, а углы при A и C входят в сумму целиком. Значит, выбор диагонали не меняет итог: сумма четырёх внутренних углов всё равно равна 360°.

Правило помогает найти неизвестный угол, если известны остальные три. Сначала сложи известные величины, затем вычти полученную сумму из 360°: остаток должен приходиться на четвёртый угол. Такой расчёт возможен потому, что все четыре внутренних угла вместе дают фиксированную сумму. После вычисления полезно сложить все четыре ответа и проверить, получилось ли 360°.

Сумма внутренних углов

В таблице видно, что для четырёхугольника сумма получается из двух сумм углов треугольника: 180° + 180°. При решении задач сначала определи, о какой фигуре идёт речь, а затем используй соответствующее число. Для выпуклого четырёхугольника это 360°.

Разбор задач

В выпуклом четырёхугольнике три угла равны 80°, 95° и 110°. Нужно найти четвёртый угол. Здесь не требуется знать, как расположены вершины: достаточно применить общую сумму внутренних углов. Обозначим неизвестный угол через α и сложим его с тремя известными.

1. Сложим известные углы: 80° + 95° + 110° = 285°.
2. Вычтем их сумму из 360°: α = 360° − 285° = 75°.
3. Проверим: 80° + 95° + 110° + 75° = 360°.

Ответ: четвёртый угол равен 75°.

Углы выпуклого четырёхугольника равны 2x°, 3x°, 4x° и 3x°. Чтобы найти x и величины углов, используем, что сумма всех четырёх углов — 360°. Буква x здесь обозначает общую величину, от которой зависят все углы; после её нахождения нужно подставить результат в каждое выражение.

1. Составим уравнение: 2x + 3x + 4x + 3x = 360°.
2. Сложим подобные слагаемые: 12x = 360°, значит, x = 30°.
3. Вычислим углы: 2x = 60°, 3x = 90°, 4x = 120°, 3x = 90°.
4. Проверим сумму: 60° + 90° + 120° + 90° = 360°.

Ответ: x = 30°; углы равны 60°, 90°, 120° и 90°.

Углы выпуклого четырёхугольника относятся как 1 : 2 : 3 : 4. Отношение показывает, что углы состоят из одной, двух, трёх и четырёх одинаковых частей. Обозначим величину одной такой части через x; тогда углы будут x, 2x, 3x и 4x, а их общая сумма равна 360°.

1. Составим уравнение: x + 2x + 3x + 4x = 360°.
2. Сложим части: 10x = 360°, поэтому x = 36°.
3. Найдём углы: 36°, 2 · 36° = 72°, 3 · 36° = 108° и 4 · 36° = 144°.
4. Проверим: 36° + 72° + 108° + 144° = 360°.

Ответ: 36°, 72°, 108° и 144°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что сумма углов четырёхугольника равна 180°. Число 180° относится к треугольнику, и его легко перенести на фигуру, если забыть о диагонали. Проверь себя: выпуклый четырёхугольник диагональю делится на два треугольника, значит, складываются две суммы по 180°. Верный итог — 360°.

Ошибка: сложить три известных угла и принять их сумму за ответ или забыть о неизвестном четвёртом. Такое случается, когда решение заканчивают после первого вычисления. Запиши сумму всех четырёх углов, обозначив неизвестный, и найди его как разность между 360° и суммой известных. В конце проверь общую сумму.

Ошибка: принять угол треугольника у диагонали за полный внутренний угол четырёхугольника. Диагональ делит углы при своих концах на части, поэтому одна часть ещё не равна углу всей фигуры. Проверь, какие именно углы складываются: при вершинах на концах диагонали части двух треугольников образуют исходный угол четырёхугольника. При остальных вершинах угол треугольника совпадает с внутренним углом.

Ошибка: без проверки применять доказательство к невыпуклому четырёхугольнику. Причина в том, что правило запоминают, но забывают условие, при котором диагональ делит фигуру на два треугольника внутри неё. Перед рассуждением проверь выпуклость: фигура должна лежать по одну сторону от прямой каждой своей стороны. Если условие не выполнено, доказательство для выпуклой фигуры использовать нельзя.

Связь с другими темами

Для доказательства суммы углов четырёхугольника нужны понятия угла и треугольника, а также теорема о сумме углов треугольника. Если ты знаешь, почему сумма углов треугольника равна 180°, переход к четырёхугольнику сводится к подсчёту двух таких сумм. Так знакомое правило для треугольника становится инструментом для изучения фигур с большим числом сторон.

Равенство 360° пригодится при нахождении углов параллелограмма, трапеции и других выпуклых четырёхугольников. Для каждой из этих фигур можно сначала использовать общую сумму углов, а затем добавить её особые свойства, например равенство некоторых углов или их связь с параллельными сторонами. Так задача разбивается на понятные шаги.

Что запомнить

• У четырёхугольника четыре стороны и четыре вершины.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• У выпуклого четырёхугольника можно провести две диагонали.
• Диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
• Чтобы найти неизвестный угол, вычти сумму известных углов из 360°.