§ 13. Многоугольник

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из отрезков, последовательно соединённых концами; отрезки называются её звеньями. Точка, где встречаются два соседних звена, — вершина ломаной. У замкнутой ломаной конец последнего звена совпадает с началом первого. Это понятие помогает описать границу фигуры как последовательность отрезков.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Точки соединения звеньев называют вершинами, а сами звенья — сторонами многоугольника. Если ломаная пересекает себя, она не задаёт обычную границу многоугольника. Поэтому, определяя фигуру, нужно проверить не только замкнутость, но и отсутствие таких пересечений.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседними называют вершины, между которыми по границе нет общей стороны. Отрезок между соседними вершинами уже является стороной, а не диагональю. Различение этих отрезков понадобится при разбиении многоугольника на треугольники.

Выпуклым называют многоугольник, в котором отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри фигуры или на её границе. Иначе говоря, у выпуклого многоугольника нет углублений внутрь. Это свойство позволяет проводить диагонали внутри фигуры и без пересечений разбивать её на треугольники. По такому разбиению затем находят сумму углов.

Как это устроено

Многоугольник называют по числу его сторон: например, треугольник имеет три стороны, а четырёхугольник — четыре. Каждая сторона соединяет две соседние вершины, и при обходе границы каждый её конец становится вершиной следующего звена. Поэтому у замкнутой ломаной сторон и вершин поровну. Чтобы назвать фигуру, достаточно сосчитать одну из этих величин.

Внутренняя область находится внутри замкнутой границы, а внешняя — за её пределами; сама граница состоит из сторон. У выпуклого многоугольника отрезок между любыми двумя его точками не выходит наружу. У невыпуклого такое условие нарушается: можно выбрать две точки фигуры, а соединяющий их отрезок частично окажется вне неё. Поэтому выпуклость проверяют по расположению отрезков, а не только по внешнему виду углов.

Из выбранной вершины выпуклого n-угольника диагонали проводят к несоседним вершинам. Две соседние вершины соединены с выбранной стороной, а сама выбранная вершина не соединяется диагональю с собой; остаётся n − 3 диагонали. Они делят многоугольник на n − 2 треугольника. Например, у пятиугольника из одной вершины выходят две диагонали, образующие три треугольника.

Сумму внутренних углов выпуклого многоугольника находят через это разбиение. Каждый из n − 2 треугольников имеет сумму углов 180°, а вместе они покрывают многоугольник без пробелов и наложений. Значит, складывая углы треугольников, получаем S = 180°(n − 2). Именно число треугольников, а не число сторон, определяет множитель при 180°.

Если известны все углы, кроме одного, из общей суммы вычитают сумму известных углов. Если дана сумма и требуется число сторон, уравнение S = 180°(n − 2) решают относительно n. Например, при S = 1260° деление на 180° даёт n − 2 = 7, откуда n = 9. Результат проверяют: число сторон должно быть целым и не меньше трёх.

Основные характеристики многоугольников

Сначала определите число сторон n, затем найдите нужную строку таблицы. Число диагоналей указано для диагоналей, проведённых из одной вершины, а не для всех диагоналей фигуры. Для любого выпуклого многоугольника используйте выражения с n.

Разбор задач

Задача 1. Даны изображения замкнутых ломаных; нужно определить, какие из них являются многоугольниками, а для подходящей фигуры назвать вершины, стороны и диагонали. Решение удобно вести последовательно, не полагаясь только на внешний вид. Сначала проверим устройство границы, затем найдём нужные элементы.

1. Проверяем, что конец последнего звена совпадает с началом первого. Если ломаная не замкнута, она не ограничивает многоугольник.
2. Проверяем, не пересекаются ли звенья, не являющиеся соседними. При таком пересечении фигура не соответствует определению многоугольника.
3. У подходящей фигуры называем точки соединения звеньев вершинами, а звенья — сторонами. Диагоналями будут только отрезки между несоседними вершинами.

Ответ: многоугольниками являются замкнутые ломаные без самопересечений; их вершины, стороны и диагонали определяются указанным способом. Без конкретных изображений нельзя перечислить названия вершин, но критерий проверки остаётся тем же.

Задача 2. Найдём сумму внутренних углов выпуклого семиугольника. Здесь n = 7, и диагонали из одной вершины делят фигуру на 7 − 2 = 5 треугольников. Поскольку каждый треугольник даёт 180°, складываем углы пяти треугольников.

1. Записываем формулу: S = 180°(n − 2).
2. Подставляем число сторон: S = 180°(7 − 2) = 180° · 5.
3. Вычисляем произведение: S = 900°.

Ответ: сумма внутренних углов выпуклого семиугольника равна 900°. Проверка разбиением даёт пять треугольников, поэтому полученный результат соответствует числу частей.

Задача 3. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1260°. Нужно найти число его сторон. Неизвестно n, поэтому подставим заданную сумму в формулу и решим уравнение. После вычислений проверим допустимость найденного числа.

1. Записываем уравнение: 180°(n − 2) = 1260°.
2. Делим обе части на 180°: n − 2 = 7, значит, n = 9.
3. Проверяем условие: 9 — целое число и оно больше трёх, следовательно, такое число сторон возможно.

Ответ: у многоугольника 9 сторон. Проверка: 180°(9 − 2) = 1260°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать многоугольником любую замкнутую ломаную. Замкнутость необходима, но недостаточна: звенья не должны пересекаться, если они не соседние. Эту ошибку допускают, когда смотрят только на совпадение начала и конца. Проверяйте все участки границы и их пересечения.

Ошибка: называть диагональю отрезок между соседними вершинами. Такой отрезок уже является стороной, потому что входит в границу фигуры. Путаница возникает, если считать диагональю любой отрезок внутри многоугольника. Для проверки выясните, есть ли у соединяемых вершин общая сторона.

Ошибка: считать, что диагонали из одной вершины образуют n треугольников. Вершина уже является концом нескольких сторон, поэтому часть возможных соединений — стороны, а не диагонали; в результате получается n − 2 треугольника. Ошибку предотвращает проверка на простых примерах: у треугольника одна часть, у четырёхугольника — две.

Ошибка: подставлять в формулу число диагоналей или число углов вместо n. В формуле S = 180°(n − 2) буква n обозначает число сторон, которое одновременно равно числу вершин. Если дано число диагоналей, его сначала нельзя автоматически считать n. Перед вычислением подпишите, что именно обозначает каждая известная величина.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужны понятия отрезка, вершины, угла и ломаной, а также правило о сумме углов треугольника. Без последнего нельзя получить формулу для суммы углов многоугольника через его разбиение на треугольники. Новая формула пригодится в задачах, где известны не все углы или требуется определить число сторон. Она также используется при изучении правильных многоугольников.

Что запомнить

• У многоугольника число сторон равно числу вершин.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• Выпуклый многоугольник целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.
• Диагонали из одной вершины выпуклого n-угольника разбивают его на n − 2 треугольника.
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
• Для четырёхугольника сумма внутренних углов равна 360°.