49. Описанная окружность

Определения и обозначения

Окружность, описанная около многоугольника, — это окружность, проходящая через все его вершины. Для треугольника это означает, что на окружности лежат все три вершины. Такое определение помогает отличать описанную окружность от окружности, которая может проходить только через часть вершин.

Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника. У треугольника расстояния от центра до вершин A, B и C одинаковы: OA = OB = OC. Зная эту точку, можно построить саму окружность.

Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины многоугольника. Если O — центр, а A — вершина, то радиус обозначают R и записывают R = OA. Из-за равноудалённости можно брать любую вершину.

Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Каждая её точка находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка. Поэтому этот инструмент позволяет искать центры окружностей, проходящих через заданные точки.

Как это устроено

Пусть окружность проходит через вершины A и B треугольника, а её центр — O. Так как OA и OB являются радиусами одной окружности, они равны. Значит, точка O равноудалена от концов отрезка AB. По свойству геометрического места таких точек O лежит на серединном перпендикуляре к AB.

То же рассуждение работает для сторон BC и AC. Центр окружности должен быть одновременно равноудалён от B и C, а также от A и C, поэтому он лежит на серединных перпендикулярах к этим сторонам. Точка пересечения двух таких прямых даёт место, где можно расположить центр.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Действительно, пересечение первых двух уже равноудалено от трёх вершин: от концов первой стороны — по одному перпендикуляру, а от третьей вершины это следует из второго. Поэтому точка лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне.

Через найденную точку проводят окружность радиусом до любой вершины. Все остальные вершины попадут на неё, поскольку находятся на таком же расстоянии от центра. Значит, через три вершины треугольника проходит окружность, причём её центр единственный: две разные точки пересечения одних и тех же двух прямых невозможны.

Положение центра зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике перпендикуляры пересекаются внутри, в прямоугольном — в середине гипотенузы, а в тупоугольном — снаружи. Это не меняет определения окружности: она всё равно проходит через все три вершины.

Положение центра описанной окружности треугольника

Сначала определите вид треугольника по его углам, а затем используйте соответствующую строку таблицы. Для прямоугольного треугольника ориентир особенно удобен: центр можно найти без построения двух перпендикуляров. У тупоугольного треугольника выход центра за пределы фигуры является нормальным результатом, а не ошибкой.

Разбор задач

Построение описанной окружности

Условие. Дан треугольник ABC. Постройте окружность, описанную около него. Нужно получить окружность, проходящую через все три вершины.

1. Постройте серединный перпендикуляр к стороне AB и серединный перпендикуляр к стороне BC. Для этого найдите середину каждой стороны и проведите через неё прямую под прямым углом к стороне.
2. Обозначьте точку пересечения перпендикуляров буквой O. Она равноудалена от A и B, а также от B и C.
3. Проведите окружность с центром O и радиусом OA. Так как OA = OB = OC, окружность пройдёт через A, B и C.

Ответ: окружность с центром в точке пересечения серединных перпендикуляров к двум сторонам и радиусом до любой вершины. Проверка выполняется сравнением расстояний OA, OB и OC.

Радиус прямоугольного треугольника

Условие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. Обозначим гипотенузу буквой c.

1. Вспомните положение центра: у прямоугольного треугольника он является серединой гипотенузы.
2. Радиус соединяет центр с вершиной, поэтому равен половине гипотенузы: R = c/2.
3. Подставьте значение: R = 10/2 = 5 см.

Ответ: 5 см. Делить нужно именно гипотенузу, потому что центр лежит на её середине, а не на середине одного из катетов.

Доказательство равноудалённости

Условие. Точка O — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам AB и BC треугольника ABC. Докажите, что она равноудалена от всех вершин.

1. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AB, по его свойству OA = OB.
2. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к BC, получаем OB = OC.
3. Из равенств OA = OB и OB = OC следует OA = OB = OC. Значит, точка O равноудалена от A, B и C.

Ответ: точка O равноудалена от всех трёх вершин, поэтому является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Её радиус можно вычислить как OA, OB или OC.

Типичные ошибки

Центр всегда внутри. Так считают, потому что привычно видеть окружность внутри фигуры. На самом деле у прямоугольного треугольника центр лежит на гипотенузе, а у тупоугольного — вне треугольника. Проверьте углы перед построением.

Путаница с вписанной окружностью. Описанная окружность проходит через вершины, а вписанная касается сторон изнутри. Ошибка возникает из-за похожих названий. Проверьте, что именно должна пересекать окружность: вершины или стороны.

Окружность проводят без проверки центра. Через две вершины можно провести много окружностей, поэтому случайный центр не подходит. Сначала убедитесь, что расстояния до всех вершин равны. После этого проводите окружность одним радиусом.

Строят перпендикуляр только к одной стороне. Такой перпендикуляр содержит все точки, равноудалённые от концов стороны, но не задаёт единственный центр. Для точного определения нужны два серединных перпендикуляра. Их пересечение и есть искомая точка.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны определения окружности, центра и радиуса. Также пригодится свойство серединного перпендикуляра: его точки равноудалены от концов отрезка. Эти знания объясняют построение центра, а не только задают правило.

Описанная окружность используется в задачах на треугольники, геометрические построения и вычисление радиусов. Положение центра помогает проверять, правильно ли определён вид треугольника. Особенно часто встречается связь с прямоугольным треугольником.

Для прямоугольного треугольника радиус находится по гипотенузе: R = c/2. Это позволяет решить задачу даже без построения окружности. Достаточно найти длину гипотенузы и разделить её на два.

Что запомнить

• Описанная около треугольника окружность проходит через все три его вершины.
• Центр описанной окружности равноудалён от вершин треугольника.
• Центр лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне.
• У любого треугольника есть единственная описанная окружность.
• У остроугольного треугольника центр находится внутри.
• У прямоугольного треугольника центр — середина гипотенузы.
• У тупоугольного треугольника центр находится вне треугольника.